Γλυκιά καθετότητα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γλυκιά καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm

Γλυκιά καθετότητα.png
Γλυκιά καθετότητα.png (9.22 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές
Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:41 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm
Γλυκιά καθετότητα.png
Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
Καλησπέρα !

Έστω L το συμμετρικό του A ως προς το M .Το BACL είναι παραλληλόγραμμο άρα AC=BL και BLD ισοσκελές .
Έτσι αφού BA διαμέσος θα είναι και ύψος άρα BA\perp AD
85.PNG
85.PNG (20.7 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 8:15 pm

Καλησπέρα!
Στο τρίγωνο BDC έχουμε BM διάμεσος και AD=2AM, άρα A βαρύκεντρο. Φέρω την διάμεσο CN και έχω AN=2AC=BD, δηλαδή το τρίγωνο ABD είναι ορθογώνιο με την \widehat{A} ορθή, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γλυκιά καθετότητα.PNG
Γλυκιά καθετότητα.PNG (18.39 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 8:52 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm
Γλυκιά καθετότητα.png
Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
Άλλη μία:

Φέρω από το C παράλληλη στην AM η οποία τέμνει την BA στο L.
Φέρω την παράλληλη από το L στην AB που τέμνει την AM στο K.
Είναι LC=2AM=KM=AD,LC//AD οπότε K μέσο του AD και ACLD παραλληλόγραμμο.
Αφού BD=AC=DL θα είναι BDL ισοσκελές και έτσι επειδή A μέσο της βάσης είναι AD\perp AB
86.PNG
86.PNG (19.03 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 9:34 pm

Και μία ακόμα!
Έστω K και L τα μέσα των AD και AB, θα έχω KL=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{AC}{2}=LM. Ακόμη AK=AM, οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο KLM θα είναι LA διάμεσος, άρα και ύψος.

Γλυκιά καθετότητα 2.PNG
Γλυκιά καθετότητα 2.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γλυκιά καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 07, 2019 3:52 am

Γλυκιά καθετότητα.png
Γλυκιά καθετότητα.png (20.54 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Αν P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E τα συμμετρικά των A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D ως προς το M τα τετράπλευρα ABPC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBEC είναι παραλληλόγραμμα .

Το τρίγωνο CAE είναι ισοσκελές με διάμεσο το CP και άρα

CP \bot AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA//PC \Rightarrow BA \bot AM


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3236
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γλυκιά καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιούλ 07, 2019 7:00 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm

Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
shape.png
shape.png (20.22 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ABDE και έστω O το σημείο τομής των διαγωνίων.

Αφού OM\parallel EC και  \triangleleft AEC ισοσκελές, συμπεραίνουμε ότι από Π-Γ-Π τα τρίγωνα AOE,AMC είναι ίσα.

Έτσι, το τρίγωνο BEC είναι ισοσκελές, η AB είναι μεσοκάθετος της EC και το ζητούμενο έπεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3236
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γλυκιά καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιούλ 07, 2019 10:29 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm

Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
Ακόμα μία.
shape2.png
shape2.png (21.14 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές
Προεκτείνουμε την BA κατά ίσο τμήμα AE

Είναι EC\mathop  = \limits^\parallel  DA \Rightarrow ACED παραλληλόγραμμο, οπότε από το ισοσκελές  \triangleleft DEB:DA διάμεσος – ύψος.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Ιούλ 07, 2019 5:51 pm

Θεωρώ πλαγιογώνιο με BC=Bx και BD=By.Ακόμη έστω BC=d>0 και BD=c>0.
Τότε έχουμε :

B(0,0),M(\frac{d}{2},0),C(d,0) και D(0,c).

Φέρνω την DC. Επειδή DM διάμεσος στο \Delta BDC καιDA=\frac{2}{3}DM προκύπτει ότι το A είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \Delta BDC.

Συνεπώς A(\frac{d}{3},\frac{c}{3}).

Αρα \lambda _{AB} = \lambda _{1} =\frac{\frac{c}{3}-0}{\frac{d}{3}-0}=\frac{c}{d} και \lambda _{DM}=\lambda _{2}=\frac{0-c}{\frac{d}{2}-0}=-\frac{2c}{d}.

Τώρα θα υπολογίσουμε το cosB.
Προεκτείνω την AC και έστω N το σημείο τομής της με την BD.

Απο νόμο συνημιτόνων στο \Delta BNC παίρνουμε ότι CN^{2}=BN^{2}+BC^{2}-2BNBCcosB.

Αλλά CN διάμεσος του \Delta DBC συνεπώς CN=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}BD=\frac{3}{2}c.

Αρα
\frac{9}{4}c^{2}=\frac{c^{2}}{4}+d^{2}-2\frac{c}{2}dcosB οπότε cosB=\frac{d^{2}-2c^{2}}{cd}.


Συνεπώς \left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )cosB+\lambda _{1}\lambda _{2}+1 = \frac{2c^{2}-d^{2}}{d^{2}}-\frac{2c^{2}}{d^{2}}+1 = \frac{2c^{2}}{d^{2}}-\frac{d^{2}}{d^{2}}-\frac{2c^{2}}{d^{2}}+1= 0.

Συνεπώς BA κάθετη στην DM.
Συνημμένα
6.jpg
6.jpg (29.54 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γλυκιά καθετότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιούλ 08, 2019 1:36 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm
Γλυκιά καθετότητα.png
Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
Η παράλληλη από το \displaystyle B στην \displaystyle AMτέμνει την \displaystyle CA στο \displaystyle P.Άρα, \displaystyle PB = //2AM = DA

Έτσι, \displaystyle PDAB παραλ/μμο με \displaystyle DB = AC=AP ,συνεπώς είναι ορθογώνιο,άρα \displaystyle BA \bot DM
Γλυκιά καθετότητα.png
Γλυκιά καθετότητα.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3951
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γλυκιά καθετότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιούλ 08, 2019 9:18 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 7:26 pm
Γλυκιά καθετότητα.png
Έστω AM η διάμεσος τριγώνου ABC με \widehat A>90^\circ. Προεκτείνω την MA προς το

A κατά τμήμα AD=2AM. Αν BD=AC να δείξετε ότι BA\bot AM.


Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου!
Προφανώς A το βαρύκεντρο του τριγώνου \vartriangle BCD και συνεπώς AE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BD}{2}:\left( 1 \right) ,όπου E\equiv CA\cap BD . Από \left( 1 \right) και με E το μέσο της BD προκύπτει ότι \angle DAB={{90}^{0}} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Υ.Σ. Η πιο πάνω απόδειξη έχει δοθεί από τον Θοδωρή (3η ανάρτηση) αλλά δυστυχώς (για μένα) δεν την πρόσεξα (πολύ κακό αυτό :? ).
Ζητώ ταπεινά συγνώμη για την αβλεψία μου


Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τρί Ιούλ 09, 2019 11:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γλυκιά καθετότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 09, 2019 2:27 am

Καλημέρα! Με τα γνωστά εργαλεία , άγοντας όμως μακρύτερα την ..αποσκευή
Γλυκιά καθετότητα.PNG
Γλυκιά καθετότητα.PNG (12.05 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Φέρω APT\parallel  BD με AT=BD=AC. Είναι \dfrac{AC}{AP}=\dfrac{BD}{AP}=\dfrac{BM}{PM}=\dfrac{MC}{PM}

δηλ. AH διχοτόμος στο ισοσκελές TAC οπότε και ύψος,διάμεσος.

Ακόμη BT=AD=2AM ενώ και BT=2HM άρα AM=MH.

Τα τρίγωνα BAM, MHC είναι ίσα συνεπώς \widehat{BAM}=\widehat{MHC}=90^{0}. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Γλυκιά καθετότητα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τρί Ιούλ 09, 2019 10:51 am

Καλημέρα.Και μια ακόμη λύση με πλαγιογώνιο οπως μου την έστειλε ο κ.Γακόπουλος.

Θεωρούμε πλαγιογώνιο με

C(0,0),B(a,0),D(-a,0),A(0,b), CB \equiv Cx, CA \equiv Cy οπότε E(0,3b)

Είναι BE^{2}=AD^{2} και χρησιμοποιώντας τον τύπο υπολογισμού ευθυγράμμου τμήματος που ισχύει σε πλαγιογώνιο σύστημα

παίρνουμε ότι

\left ( 3b \right )^{2}+\left ( -a \right )^{2}+2.3b(-a).cosC=b^{2}+a^{2}+2.ba.cosC

άρα

8b^2=8.ab.cosC

αντικαθιστώντας από νόμο συνημιτόνων το

cosC

καταλήγουμε στην

b^2=ab\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

b^{2}+c^{2}=a^{2}

άρα A=90^{\circ}

6.jpg
6.jpg (20.18 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες