Είναι το μέσο...

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 450
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Είναι το μέσο...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm

Έστω τρίγωνο ABC με AB<AC και έστω D το μέσο της AB.

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BE έτσι, ώστε DE=\dfrac{AC}{2}.

Από το E φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο AZ της γωνίας A η οποία τέμνει τη BC

στο M και την AZ στο K.Να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσο της BC.

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1058
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Είναι το μέσο...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 17, 2019 5:12 pm

Καλό απόγευμα σε όλους. Θέτω σχήμα στο ωραίο θέμα του Λάμπρου.
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές
Φιλικά Γιώργος.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 450
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι το μέσο...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μάιος 17, 2019 10:08 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2019 5:12 pm
Καλό απόγευμα σε όλους. Θέτω σχήμα στο ωραίο θέμα του Λάμπρου.
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG
Φιλικά Γιώργος.
Ευχαριστώ πολύ κ. Γιώργο. Να'στε καλά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Είναι το μέσο...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 18, 2019 7:53 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm
Έστω τρίγωνο ABC με AB<AC και έστω D το μέσο της AB.

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BE έτσι, ώστε DE=\dfrac{AC}{2}.

Από το E φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο AZ της γωνίας A η οποία τέμνει τη BC

στο M και την AZ στο K.Να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσο της BC.

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.
Όμορφη άσκηση!
shape.png
shape.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Έστω S \equiv EM \cap AC, N το μέσο της AC και T το σημείο τομής της ES με την παράλληλη από το C προς την AE

Τα τρίγωνα AES,CST είναι προφανώς ισοσκελή και από AS = AE \Leftrightarrow NS = \dfrac{{AB}}{2}

Επίσης, από DE\mathop  = \limits^{AC/2} NC \Leftrightarrow BE = SC = CT

Τέλος, από  \triangle MBE\mathop  = \limits^{\Gamma  - \Pi  - \Gamma }  \triangle MCT \Rightarrow MB = MC


Στο σημείο αυτό και με αφορμή αυτή τη φράση
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm
24 ώρες για τους μαθητές.
θέλω να κάνω μία παρατήρηση.

Το τελευταίο διάστημα, αρκετοί εισηγητές δίνουν κάποιο χρόνο στους μαθητές (12 ώρες, 24 ώρες κ.λ.π).

Θέλω να πιστεύω πως στο mathematica.gr είμαστε όλοι μαθητές (μικροί-μεγάλοι), τουλάχιστον έτσι εγώ αισθάνομαι.

Άλλωστε υπάρχουν αρκετοί μικροί (σε ηλικία), όπως οι: Ορέστης Λιγνός, Διονύσιος Αδαμόπουλος, Αφοι Φωτιάδη και άλλοι, που μας αφήνουν άφωνους με τις εκπληκτικές τους γνώσεις και λύσεις!

Να μην ξεχνάμε ότι υπάρχει η στήλη «Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές» (1) με τον κανονισμό της, η οποία έχει μείνει ανενεργή για πάνω από δύο χρόνια…

Πιστεύω, λοιπόν, ότι όταν μπαίνει μια άσκηση εκτός της στήλης (1), το σωστό είναι να μην έχει χρονικούς περιορισμούς και να είναι ανοιχτή για όλους.

Ευχαριστώ!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Είναι το μέσο...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 18, 2019 9:25 am

Έστω S το σημείο τομής των EM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Φέρνω κι από το B κάθετη στην διχοτόμο AZ που τέμνει την AC στο T. Προφανώς TB//SM.

Θέτω : AB = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 2k.

Είναι : AE = AS \Rightarrow AC - SC = AD + DE \Rightarrow 2k - SC = m + k \Rightarrow \boxed{SC = k - m}\,\,(1)
είναι το μέσο_new_1.png
είναι το μέσο_new_1.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

Από την άλλη μεριά αφού και

AB = AT \Rightarrow TC = AC - AB = 2k - 2m = 2(k - m) = 2SC , άρα TC = 2SC \Rightarrow \boxed{TS = SC}\,\,(2)

Στο τρίγωνο BTC το S είναι μέσο της πλευράς του TC και η SM//BT , άρα το M είναι μέσο της πλευράς CB.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Είναι το μέσο...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 18, 2019 10:05 am

Άλλη μια αλλά με το επίπεδο λεπτομέρειας που θα απαιτούσα να τη παρουσιάσει ο μαθητής .

Αν τεθεί όμως έτσι σε εξετάσεις,χωρίς επί μέρους ερωτήματα, θα είναι αρκετά δύσκολη για τους περισσότερους μαθητές.

Έστω N το μέσο του AC και S το σημείο τομής των ευθειών AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM.

Επειδή στο τρίγωνο AES η AK είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόμος , αυτό είναι ισοσκελές.

Αν η παράλληλη από το B κόψει την EM στο T , τότε προφανώς και το τρίγωνο BET είναι ισοσκελές.

Θέτω \boxed{AB = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 2k}
είναι το μέσο.png
είναι το μέσο.png (25.98 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές
Επειδή\left\{ \begin{gathered} 
  BE = AE - AB = AD + DE - AB = m + k - 2m = k - m\,\,\,(1) \hfill \\ 
  SC = AC - AS = AC - AE = AC - (AD + DE) = 2k - (m + k) = k - m\,\,\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θα είναι BE = SC και αφού το \vartriangle BET είναι ισοσκελές , τελικά: \boxed{BT// = SC}

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο BTCS είναι παραλληλόγραμμο

Συνεπώς οι διαγώνιοι του θα διχοτομούνται κι έτσι \boxed{BM = MC}.


Επί της ουσίας είναι μια παραλλαγή της λύσης του φίλου μου του Μιχάλη .


Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Είναι το μέσο...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μάιος 18, 2019 6:14 pm

Καλησπέρα σε όλους.
Μια ακόμα λύση για λόγους πλουραλισμού.

Από το B φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο που την τέμνει στο P. DP=\dfrac{AB}{2}=m ως διάμεσος ορθογωνίου. Επίσης εύκολα προκύπτει ότι FS=m

Το \bigtriangleup DPB\approx \bigtriangleup AES άρα DP=\left | \right |FS\Rightarrow DFSP παρ/μο\Rightarrow DF=\left | \right |PS.
PS\left | \right |DF\left | \right |BC, BP\left | \right |ES\Rightarrow BPSM παρ/μο \Rightarrow BM=PS=DF=\dfrac{BC}{2}
Συνημμένα
ειναι το μεσο.png
ειναι το μεσο.png (27.94 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 450
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι το μέσο...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μάιος 18, 2019 11:20 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Μάιος 18, 2019 7:53 am

Το τελευταίο διάστημα, αρκετοί εισηγητές δίνουν κάποιο χρόνο στους μαθητές (12 ώρες, 24 ώρες κ.λ.π).

Θέλω να πιστεύω πως στο mathematica.gr είμαστε όλοι μαθητές (μικροί-μεγάλοι), τουλάχιστον έτσι εγώ αισθάνομαι.

Άλλωστε υπάρχουν αρκετοί μικροί (σε ηλικία), όπως οι: Ορέστης Λιγνός, Διονύσιος Αδαμόπουλος, Αφοι Φωτιάδη και άλλοι, που μας αφήνουν άφωνους με τις εκπληκτικές τους γνώσεις και λύσεις!

Να μην ξεχνάμε ότι υπάρχει η στήλη «Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές» (1) με τον κανονισμό της, η οποία έχει μείνει ανενεργή για πάνω από δύο χρόνια…

Πιστεύω, λοιπόν, ότι όταν μπαίνει μια άσκηση εκτός της στήλης (1), το σωστό είναι να μην έχει χρονικούς περιορισμούς και να είναι ανοιχτή για όλους.

Ευχαριστώ![/color]
Μιχάλη γεια χαρά.

Θα το ακολουθήσω. Ευχαριστώ για την παρατήρηση και τη λύση.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1058
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Είναι το μέσο...

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 19, 2019 12:42 am

Χαιρετώ τους φίλους! Από το αρχικό σχήμα έχουμε \widehat{AEM}\equiv \widehat{AEK}=90^{0}-\theta ..\left ( 1 \right ).
Είναι το μέσο Β..Λ.Κ.PNG
Είναι το μέσο Β..Λ.Κ.PNG (9.32 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Έστω \Lambda ( όπως λέμε Λάμπρος!) το μέσον της BC. Τότε D\Lambda \parallel AC και D\Lambda =AC/2=DE , έτσι \widehat{DE\Lambda }=\dfrac{180^{0}-\widehat{D}}{2}=90^{0}-\theta ..\left ( 2 \right ).

Άρα M\equiv \Lambda δηλ. το M είναι το μέσον της BC. Φιλικά , Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Είναι το μέσο...

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μάιος 19, 2019 12:55 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm
Έστω τρίγωνο ABC με AB<AC και έστω D το μέσο της AB.

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BE έτσι, ώστε DE=\dfrac{AC}{2}.

Από το E φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο AZ της γωνίας A η οποία τέμνει τη BC


στο M και την AZ στο K.Να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσο της BC.

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.

Είναι \displaystyle AE = AL = \frac{{AB + AC}}{2} \Rightarrow BE = LC = \frac{{AC - AB}}{2}.Ακόμη, \displaystyle \angle E = \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow y = \frac{{B - C}}{2}

Με \displaystyle Q συμμετρικό του \displaystyle B ως προς \displaystyle K\displaystyle  \Rightarrow LQ = //BE = LC.Άρα, \displaystyle \angle QLC = A και

\displaystyle \angle x + C = \angle \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow x = \angle \frac{{B - C}}{2} = y \Rightarrow MK//QC

Αλλά \displaystyle BK = KQ άρα \displaystyle \boxed{BM = MC}
μέσον....png
μέσον....png (15.56 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Είναι το μέσο...

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μάιος 19, 2019 11:33 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm
Έστω τρίγωνο ABC με AB<AC και έστω D το μέσο της AB.

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BE έτσι, ώστε DE=\dfrac{AC}{2}.

Από το E φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο AZ της γωνίας A η οποία τέμνει τη BC

στο M και την AZ στο K.Να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσο της BC.

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.
Και μια εκτός φακέλλου

Στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle AEL τα ύψη του \displaystyle ES,LT είναι ίσα,κι επειδή \displaystyle BE = LC = \frac{{AC - AB}}{2} θα είναι

\displaystyle \left( {ELC} \right) = \left( {EBL} \right) \Rightarrow \left( {BEK} \right) = \left( {KEC} \right) \Rightarrow M μέσον της \displaystyle BC
μέσον...png
μέσον...png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες