Μεσοκάθετος

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8518
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μεσοκάθετος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 12, 2019 1:34 pm

Μεσοκάθετος.png
Μεσοκάθετος.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές
\bigstar Οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Ο κύκλος (\omega) που διέρχεται από τα σημεία

A, B, O τέμνει τις AC, BC στα P, Q αντίστοιχα. Αν η CO επανατέμνει τον (\omega) στο D, να δείξετε ότι η PQ

είναι μεσοκάθετος του CD.



Λέξεις Κλειδιά:
gschwindi
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: Μεσοκάθετος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Τρί Μαρ 12, 2019 9:14 pm

Θα δείξουμε πως  DP = PC και  DQ = QC .

Για το δεύτερο, είναι \angle QPO = \angle DQO = \angle BQO = \angle OCQ. Άρα  DQ = QC .

Για το πρώτο είναι,  \angle DQB = \angle QDC + \angle QCD = 2x = \angle DPB.

Όμως, είναι  \angle BQP = \angle DQB + \angle DQP = \angle BOD + \angle DOP = \angle BOP . Άρα και  DP = PB αφού είναι χορδές ίσων γωνιών.

Τέλος, αφού \angle DPB = 2 \angle DCQ = 2 \angle DCB, το σημείο  C θα πρέπει να ανήκει στον κύκλο με κέντρο P και ακτίνα  DP = PB . Άρα  DP = PC .

Edit: τυπογραφικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μεσοκάθετος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 12, 2019 9:40 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 1:34 pm
Μεσοκάθετος.png
\bigstar Οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Ο κύκλος (\omega) που διέρχεται από τα σημεία

A, B, O τέμνει τις AC, BC στα P, Q αντίστοιχα. Αν η CO επανατέμνει τον (\omega) στο D, να δείξετε ότι η PQ

είναι μεσοκάθετος του CD.
Από το Θεώρημα του Nagel προκύπτει ότι COD\bot PQ και με \angle PDO\overset{D,A,P,O\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PAO\overset{OA=OC=R}{\mathop{=}}\,\angle PCO προκύπτει ότι στο ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle PDC η PQ είναι ο φορέας του ύψους που αντιστοιχεί στη «βάση» άρα και μεσοκάθετός της

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
gschwindi
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: Μεσοκάθετος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Τρί Μαρ 12, 2019 9:42 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 9:40 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 1:34 pm
Μεσοκάθετος.png
\bigstar Οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Ο κύκλος (\omega) που διέρχεται από τα σημεία

A, B, O τέμνει τις AC, BC στα P, Q αντίστοιχα. Αν η CO επανατέμνει τον (\omega) στο D, να δείξετε ότι η PQ

είναι μεσοκάθετος του CD.
Από το Θεώρημα του Nagel προκύπτει ότι COD\bot PQ και με \angle PDO\overset{D,A,P,O\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PAO\overset{OA=OC=R}{\mathop{=}}\,\angle PCO προκύπτει ότι στο ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle PDC η PQ είναι ο φορέας του ύψους που αντιστοιχεί στη «βάση» άρα και μεσοκάθετός της

Στάθης
:10sta10: :10sta10:


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Μεσοκάθετος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τρί Μαρ 12, 2019 11:40 pm

Διέγραψα την δημοσίευση λόγω λάθους ...
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τετ Μαρ 13, 2019 7:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Μεσοκάθετος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Τετ Μαρ 13, 2019 12:00 am

[attachment=0]draw1.png[/attachment]

..καλησπέρα..

έστω \displaystyle\widehat{ABC}=\omega , \widehat{ACD}=\chi. Έχουμε: \displaystyle\widehat{FBA}=\widehat{FCA}=\chi (βαίνουν στο ιδιο τοξο στον πρασινο κυκλο)(1).Ταυτόχρονα έχουμε: \displaystyle\widehat{ABC}+\widehat{FBA}=90^{o} (2)(αφού FCδιάμετρος του πράσινου κύκλου.)
Όμως APQB εγγεργαμμένο τετράπλευρο στον πράσινο κύκλο. Αυτο σημαίνει ότι: \displaystyle\widehat{CPQ}=\widehat{ABC}=\omega(3)
Έτσι: \displaystyle\widehat{PHC}=180^{o}-\omega -\chi \Rightarrow \widehat{PHC}=90^{o} (4) (με την βοήθεια των (1),(2),(3))
Στο \displaystyle\triangle OCA\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A}=\chi(5) (OA=OCακτίνες του πράσινου κύκλου.) Όμως \displaystyle\widehat{PDO}=\widehat{OAP}=\chi (6) (βαίνουν στο ιδιο τοξο στον μπλε κύκλο). Από (5), (6) έχουμε: \displaystyle\triangle PDCισοσκελές με PH\perp DC. Τελειώνοντας λοιπόν έχουμε: PH μεσοκάθετος της DC.-
Συνημμένα
draw1.png
draw1.png (51.27 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεσοκάθετος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 13, 2019 1:35 am

Φέρνω το απόστημα OM στη χορδή BC. Θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat A\,\,\, \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _2}} = \widehat A\,\,\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Η πρώτη από σχέση επίκεντρης με αντίστοιχη εγγεγραμμένη και η δεύτερη από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABQP.

Συνεπώς \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \,\widehat {{\theta _2}}\,\,} που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο TQMO είναι εγγράψιμο και άρα PQ \bot CD\,\,\,(1).
μεσοκάθετος_Bisbik.png
μεσοκάθετος_Bisbik.png (36.55 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Επειδή \widehat D = \widehat {{\omega _2}} ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο και \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}} ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου OBC, θα είναι : \widehat {{\omega _1}} = \widehat D \Leftrightarrow QD = QC\,\,\,(2).

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) προκύπτει ότι το \vartriangle QDC είναι ισοσκελές με κορυφή το Q και ύψος QT που θα είναι και μεσοκάθετος στο DC.

Παρατήρηση : Η καθετότητα που ζητείται προκύπτει και αν φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου (O) στο σημείο του C.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης