Επαφή κύκλων

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6666
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Επαφή κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 11, 2019 6:20 pm

Επαφή δύο κύκλων.png
Επαφή δύο κύκλων.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές
Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\,(AB = AC) με AB > BC. Έστω D η προβολή του B στη AC και E η προβολή του D στην AB.

ΟΙ ευθείες BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE τέμνονται στο Z.

Δείξετε ότι οι κύκλοι : (C,BC) και ο περιγεγραμμένος στο \vartriangle DCZ εφάπτονται .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Επαφή κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 6:39 pm

Καλησπέρα!

Έστω r η ακτίνα του μικρού κύκλου και R του μεγάλου.
Αρκεί R=2r

Είναι \widehat{CBD}=90-\widehat{BCD}=90-\widehat{CBE}=\widehat{CZD}
Είναι \dfrac{DC}{\sin\widehat{CZD}}=2r
Όμως BC=R=\dfrac{CD}{\sin\widehat{CBD}}=\dfrac{CD}{\sin\widehat{CZD}}=2r\Leftrightarrow R=2r


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαφή κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 11, 2019 7:40 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Μαρ 11, 2019 6:20 pm
Επαφή δύο κύκλων.png

Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\,(AB = AC) με AB > BC. Έστω D η προβολή του B στη AC και E η προβολή του D στην AB.

ΟΙ ευθείες BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE τέμνονται στο Z.

Δείξετε ότι οι κύκλοι : (C,BC) και ο περιγεγραμμένος στο \vartriangle DCZ εφάπτονται .
Έστω ότι η BD τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο K.
Επαφή κύκλων.png
Επαφή κύκλων.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
\displaystyle A\widehat CB = A\widehat BC = A\widehat BD + \varphi  = A\widehat DE + \varphi  = C\widehat DZ + \varphi  \Leftrightarrow D\widehat ZC = \varphi  = D\widehat KC

Άρα το DKZC είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου CK και το ζητούμενο έπεται.


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Επαφή κύκλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Δευ Μαρ 11, 2019 11:06 pm

καλησπέρα (μετά από πολύ καιρό),

με την βοήθεια του σχήματος του Γιώργου. Αν K το σημείο τομης της BD με τον περίκυκλο του \triangleDCZ.Έχουμε λοιπόν: \angle 
DKC=\angle DZC(1) (ως εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο). Επίσης \angle DKC+\angle KCD=90^{o} (2). Τώρα στο \triangle EBZ έχουμε: \angle 
EZB+\angle ZBE=90^{o}(3) και επειδή AB=AC\Rightarrow \angle ABC=ACB(4). Από τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) συμπεραίνουμε ότι: \angle KCD=\angle  
DCB και αφού CD\perp BK συμπεραίνουμε 'οτι : \triangle BCK ισοσκελές και άρα DB=DK με B\epsilon (C,CB) πρέπει και K\epsilon (C,CB) και
έτσι οι δυο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά._


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης