Συνευθειακά σημεία-3

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1127
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Συνευθειακά σημεία-3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Μαρ 07, 2019 9:05 pm

4.png
4.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα θεωρώ κύκλο και τη χορδή αυτού AB.

Αν AC=CD και DB=BE, δείξτε ότι τα σημεία C, D, E είναι συνευθειακά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8414
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά σημεία-3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 07, 2019 11:52 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Μαρ 07, 2019 9:05 pm
4.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα θεωρώ κύκλο και τη χορδή αυτού AB.

Αν AC=CD και DB=BE, δείξτε ότι τα σημεία C, D, E είναι συνευθειακά.
Συνευθειακά-3.png
Συνευθειακά-3.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Έστω ότι η CD τέμνει τον κύκλο στο P. Τότε, \displaystyle A\widehat CE = A\widehat BP και \displaystyle B\widehat PC = B\widehat AC = C\widehat DA = P\widehat DB.

Άρα BD=BP. Αλλά, BD=BE κι επειδή το E είναι σημείο του τόξου \overset\frown{APB}, τα P, E συμπίπτουν και το ζητούμενο έπεται.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1127
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συνευθειακά σημεία-3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Μαρ 11, 2019 11:38 am

4.png
4.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Καλημέρα Γιώργο και καλή Σαρακοστή.

Φέρνω το τμήμα DE και τη κάθετη από το B προς αυτό.

Ονομάζω P το σημείο τομής της παραπάνω καθέτου με τον κύκλο.

Φέρνω επίσης τα τμήματα PA, PC, PD, PE.

Έστω \angle DBE=2\theta .

Προφανώς η PB είναι μεσοκάθετος του DE.

Οπότε \angle ABP= \angle PBE=\theta και PD=PE (1).

Αλλά τα τόξα PA, PE είναι ίσα (αφού σ' αυτά βαίνουν ίσες γωνίες).

Άρα PA=PE\Rightarrow PA=PD (λόγω της (1)).

Επομένως η CP είναι μεσοκάθετος του AD.

Όμως \angle ACP=\theta .

Συνεπώς και \angle PCD=\theta .

Οπότε τα σημεία C, D, E είναι συνευθειακά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης