Διάμεσος και διχοτόμος

Christos.N · #1

Να αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Ίσα τρίγωνα: Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ προεκτείνουμε την διάμεσο

κατα τμήμα $M\Delta=AM$ . Τα τρίγωνα $AM\Gamma$ και $BM\Delta$ έχουν: $AM=M\Delta$ , $MB=M\Gamma$ και $\widehat{BM\Delta } =\widehat{AM\Gamma }$ ως κατακορυφήν, άρα ίσα. Ακόμη, τα τρίγωνα ABM

και $BM\Delta$ έχουν

κοινή, $AM=M\Delta$ και $\widehat{B\Delta M}=\widehat{MA\Gamma }= \widehat{BAM}$ άρα ίσα. Οπότε τα τρίγωνα ABM

και $AM\Gamma$ είναι ίσα, άρα $AB=A\Gamma$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Θεωρούμε

και

τα μέσα των πλευρών

και

αντίστοιχα.
Το ADML

είναι παραλληλόγραμμο άρα $\widehat{AMD}=\widehat{MAL}$
Άρα στο AMD

είναι

.

Επίσης το DLBM

είναι παραλληλόγραμμο άρα AD=DM=LB

.

Έχουμε $AC=2\cdot DM=2\cdot LB=AB$

#4

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 6:23 pm
Να αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Όντως μπορώ να σκεφτώ πολλές αποδείξεις. Ας δούμε δύο απλές.

Στα παρακάτω η διχοτόμος/διάμεσος είναι η

.

α) Με χρήση του Θεωρήματος των Διχοτόμων. AB:AC= BD:CD=1:1

. Τελειώσαμε.

β) Με χρήση κριτηρίων ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (και χρήση τους στο ότι τα σημεία της διχοτόμου ισαπέχουν από τις πλευρές.

Φέρνουμε καθέτους $DE, \, DF$ από το

στις πλευρές. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $BDE, \, CDF$ είναι ίσα διότι BD=DC

και

. Άρα $\angle B = \angle C$ . Τελειώσαμε.

#5

: Διχοτόμος διάμεσος ισοσκελές_1.png (21.04 KiB) Προβλήθηκε 3229 φορές

Ισχυρίζομαι ότι δεν είναι ισοσκελές και γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου που

ως διχοτόμος τον τέμνει στο νότιο πόλο

.

Θα είναι SB = SC

λόγω της διχοτόμου . Φέρνω το ύψος,

του ισοσκελούς $\vartriangle SBC$ .

Άρα TB = TC

δηλαδή το

έχει δύο διαφορετικά μέσα . Άτοπο.

Αλλιώς .

: Διχοτόμος διάμεσος ισοσκελές_2.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 3229 φορές

Φέρνω παράλληλή από το

στη

. Για κάθε σημείο

αυτής διαφορετικό του

, η

τέμνει τις ευθείες $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα D,E

Με την

να θεωρείται διάμεσος , η τετράδα : $(B,E\backslash D,S)$ είναι αρμονική .

Αφού όμως η

είναι διχοτόμος θα είναι $SA \bot AM$ , συνεπώς και η

ως παράλληλη στην

θα είναι κάθετος στην

στο

.

Προφανώς τώρα AB = AC

.

hlkampel · #6

Άλλη μία με εμβαδά.

Αφού

διάμεσος τότε:

$\left( {ABM} \right) = \left( {ACM} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB \cdot AM\eta \mu \varphi = \dfrac{1}{2}AC \cdot AM\eta \mu \varphi \Rightarrow AB = AC$

#7

Με κριτήριο ισότητας τριγώνων

Με

την διχοτόμο/διάμεσο:

Τα τρίγωνα $ABD, \, ACD$ έχουν

κοινή,

και $\angle A_1=\angle A_2$ (προσοχή, δεν είναι η περιεχόμενες γωνίες). Άρα οι τρίτες γωνίες B, C

είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές. Όμως δεν είναι παραπληρωματικές γιατί σε κάθε τρίγωνο, όπως στο ABC

, είναι

. Άρα είναι ίσες.

#8

Με Θαλή

Φέρνω από το

κάθετο στην διχοτόμο/διάμεσο

. Από την ισότητα των τριγώνων $ABE, \, AEZ$ έχουμε BE=EF

και

. Αν το

δεν συνέπιπτε με το

τότε η

θα ήταν παράλληλη της

αφού συνδέει τα μέσα πλευρών στο τρίγωνο BCZ

. Άτοπο, αφού οι $DE, \, CZ$ τέμνονται στο

. Τελικά τα $C,\, Z$ συμπίπτουν και AB=AZ=AC

.

#9

Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμα απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο.

: 17-01-2019 Γεωμετρία.png (11 KiB) Προβλήθηκε 3157 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

διάμεσο και διχοτόμο.

Έστω AB > AC

(1) . Προεκτείνουμε την

κατά τμήμα

, ώστε

.

Τότε στο ισοσκελές ABE

η προέκταση της διχοτόμου

τέμνει τη

στο

, που είναι το μέσο της, οπότε το

είναι παράλληλο στη

, άτοπο, αφού οι φορείς τους τέμνονται στο

, άρα η υπόθεση (1) είναι ψευδής.

Το ίδιο αν AB<AC

, οπότε

.

#10

: Διχοτόμος διάμεσος ισοσκελές_3.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 3141 φορές

Έστω

οι προβολές του μέσου

της

στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ .

Προφανώς επειδή η

είναι και διχοτόμος θα είναι : $DE = DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{AE = AZ}\,\,(1)$

Τα ορθογώνια τρίγωνα $EBD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZCD$ έχουν τις υποτείνουσες $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ ίσες και τις κάθετες πλευρές τους $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DZ$ ίσες οπότε θα είναι ίσα και άρα :

$\boxed{EB = ZC\,\,}\,(2)$ λόγω τώρα της (1)

θα είναι : $AE + EB = AZ + ZC \Rightarrow AB = AC$ .

#11

Από τους τύπους διαμέσου και διχοτόμου: Αν π. χ η

είναι διάμεσος και διχοτόμος, τότε

$\displaystyle \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} = A{D^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right),$ απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση:

$\displaystyle (b - c)\left( {2{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{b=c}$ ή $\displaystyle a = (b + c)\sqrt 2 > b + c$ που απορρίπτεται λόγω τριγωνικής ανισότητας.

#12

Καθαρά Ευκλείδεια λύση δεν τη λές... αλλά για λόγους πλουραλισμού, την παραθέτω.

: Διαμεσος και διχοτόμος.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 3101 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \frac{{AB}}{{\eta \mu {{\rm M}_1}}} = \frac{{{\rm B}D}}{{\eta \mu {{\rm A}_1}}}$ και στο ACM

είναι $\displaystyle \frac{{AC}}{{\eta \mu {{\rm M}_2}}} = \frac{{DC}}{{\eta \mu {{\rm A}_2}}}$

και αφού BD = DC

, $\displaystyle {\widehat {\rm A}_1} = {\widehat {\rm A}_2} \Rightarrow \eta \mu {A_1} = \eta \mu {{\rm A}_2}$ και $\displaystyle {\widehat {\rm M}_1} + {\widehat {\rm M}_2} = 180^\circ \Rightarrow \eta \mu {{\rm M}_1} = \eta \mu {{\rm M}_2}$ , θα είναι και AB = AC

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #13

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 6:23 pm
Να αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Γνωρίζω ότι το θέμα είναι απλό ,δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί αυτούσιο παλιότερα, αναρωτιέμαι πόσες διαφορετικές αποδείξεις θα μπορούσαμε να έχουμε (προσωπικά έφτασα τις 5), θα προτιμούσα να δηλώνουμε το κεφάλαιο (εννοιολογικά) για την κάθε απόδειξη που δίνουμε. Καλό θα ήταν οι αναλύσεις μας να μείνουν καθαρά Ευκλείδειες (μη αναλυτικές)

Θεωρώντας τους περίκυκλους των $\displaystyle \vartriangle ADB,ADC$ είναι, $\displaystyle \angle EDB = \angle ZDC = 2\phi$ και λόγω της

διχοτόμου, $\displaystyle ZD = DB = DC = DE$

Τώρα, $\displaystyle \vartriangle EDB = \vartriangle ZDC \Rightarrow \boxed{\angle B = \angle C}$

: διάμεσος και διχοτόμος.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 3078 φορές

Christos.N · #14

Μια ακόμα

: DeepinScreenshot_select-area_20190119113739.png (23.18 KiB) Προβλήθηκε 3040 φορές

Christos.N · #15

: DeepinScreenshot_select-area_20190119114808.png (22.03 KiB) Προβλήθηκε 3038 φορές

Να ευχαριστήσω όλους όσους ασχολήθηκαν με αυτό το θέμα το οποίο μπορεί να είναι μια καλή (προσιτή) πρόταση για διερεύνηση από μαθητές σε οποιαδήποτε τάξη του Λυκείου και να "σαρώσει" πολλά κομμάτια της διδακτέας ύλης τους.

Ανδρέας Πούλος · #16

Παραλλαγή της λύσης του Θ. Φωτιάδη.

Προεκτείνουμε τη διαμέσο

, ώστε

.
Το τετράπλευρο ABDC

είναι παραλληλόγραμμο, επειδή οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.
Όμως η διαγώνιος

είναι και διχοτόμος της γωνίας

.
Άρα, αυτό είναι ρόμβος.
Άρα, το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

Διάμεσος και διχοτόμος

Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση