Σελίδα 1 από 1

Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm
από george visvikis
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 26, 2018 8:31 pm
από Ορέστης Λιγνός
george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.
Έστω O το περίκεντρο του ABCD, το οποίο είναι ταυτόχρονα και περίκεντρο του ABC, αλλά και του BCD.

Τότε, αν M η προβολή του O στην BC, από γνωστό Θεώρημα, AH=2OM, DE=2OM, οπότε AH=DE (1).

Επίσης, AH \perp BC, DE \perp BC \Rightarrow AH \parallel DE, οπότε σε συνδυασμό με την (1), παίρνουμε το ζητούμενο.

Γιώργο, σε παρακαλώ, αν μπορείς να βάλεις το σχήμα. :)

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 26, 2018 8:37 pm
από Ορέστης Λιγνός
Αλλιώς.

Έστω R η ακτίνα του κύκλου (A,B,C,D) και \angle BAC=\angle BDC=\phi.

Από γνωστό Λήμμα, DE=2R\cos \angle BDC=2R \cos \phi και AH=2R \cos \angle BAC=2R \cos \phi, συνεπώς AH=DE και η απόδειξη κυλάει όπως πιο πάνω.

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 27, 2018 12:36 am
από george visvikis
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 8:31 pm
george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.
Έστω O το περίκεντρο του ABCD, το οποίο είναι ταυτόχρονα και περίκεντρο του ABC, αλλά και του BCD.

Τότε, αν M η προβολή του O στην BC, από γνωστό Θεώρημα, AH=2OM, DE=2OM, οπότε AH=DE (1).

Επίσης, AH \perp BC, DE \perp BC \Rightarrow AH \parallel DE, οπότε σε συνδυασμό με την (1), παίρνουμε το ζητούμενο.

Γιώργο, σε παρακαλώ, αν μπορείς να βάλεις το σχήμα. :)
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.β.png
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.β.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Το σχήμα στην πολύ ωραία λύση του Ορέστη!

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 27, 2018 7:56 am
από spege
Να την γενικεύσω λίγο; Υπάρχουν λοιπόν 4 παραλληλόγραμμα με κοινό κέντρο.