Συνευθειακά σε δίκυκλο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8422
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συνευθειακά σε δίκυκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 19, 2018 11:45 am

Συνευθειακά σε δίκυκλο.png
Συνευθειακά σε δίκυκλο.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC. Ο κύκλος διαμέτρου AC επανατέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

AHB στο K. Αν M είναι το μέσο του BH, να δείξετε ότι τα σημεία C, K, M είναι συνευθειακά.



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συνευθειακά σε δίκυκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Δεκ 19, 2018 4:44 pm

BL το ύψος του τριγώνου ABC και από το ορθογώνιο HDB έχουμε DM=MH και οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

\widehat{DCA}=_{HLCD\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma .}\widehat{LHA}=\widehat{MHD}=\widehat{MDH} Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του ADC έχει εφαπτομένη την DM Άρα \widehat{MDK}=\widehat{DCK}=_{ACDK\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho .}\widehat{DAK}=\widehat{KBH} Άρα BDKM εγγράψιμο και αυτό μας δείνει

\widehat{BKM}=\widehat{BDM}=_{(MD=MB)}\widehat{DBM}=\widehat{DKC}=\widehat{DAC}

\widehat{KML}=\widehat{MKB}+\widehat{KBM} από εξωτερική γωνία και από τις μεταφορές των γωνιών από πριν θα βγάλουμε \widehat{KML}= \widehat{KAL} άρα MKLA εγγράψιμο και \widehat{MLA}=\widehat{AKM}=90

\widehat{CDA}=\widehat{CKA}=90 και τώρα \widehat{MKA}+\widehat{AKC}=180\rightarrow M,K,C\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6732
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά σε δίκυκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 19, 2018 11:56 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 19, 2018 11:45 am
Συνευθειακά σε δίκυκλο.png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC. Ο κύκλος διαμέτρου AC επανατέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

AHB στο K. Αν M είναι το μέσο του BH, να δείξετε ότι τα σημεία C, K, M είναι συνευθειακά.
Θα δείξω ότι η ευθεία CK διέρχεται από το μέσο της BH.

Οι γωνίες οι κίτρινες στα σημεία D,\,\,K,\,\,Z αβίαστα προκύπτουν ορθές .

Συνευθειακά σε δίκυκλο.png
Συνευθειακά σε δίκυκλο.png (44.31 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Αν τώρα η CM τέμνει τον κύκλο (A,B,H) στο σημείο T και αφού η γωνία \widehat {AKT} = 90^\circ , προφανώς η AT είναι διάμετρος του κύκλου αυτού :

Άμεση συνέπεια : TH//BC( ως κάθετες στην AD) και TB//HC ( ως κάθετες στην ZB) , οπότε το τετράπλευρο TBCHείναι παραλληλόγραμμο

και άρα οι διαγώνιοι του διχοτομούνται , δηλαδή BM = MH


Επαινετή πάντως η λύση του , εξ Αιγαλέω City, δεκαεξάχρονου μαθητή Xriiiiistos..


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες