Πω πω τριαντάρες!

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (6.84 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο ABC

του παραπάνω σχήματος, η

είναι διάμεσος.

Αν $\theta <60^{0}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της.

KARKAR · #2

: Τριαντάρες.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Με ύλη Β' και BM=d

: $CA=d\sqrt{2}$ και από ομοιότητα των ABC,MAC

παίρνω : $AM=h\sqrt{2}$ , (

το ύψος

) , οπότε : $\widehat{AMB}=45^0$ ,οπότε : $\theta=15^0$

#3

: 30 Mοίρες.png (52.98 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές

Φέρνουμε το ύψος CD.

Τότε το τρίγωνο DMC

είναι ισόπλευρο. Ο κύκλος (D,DM)

θα διέρχεται από το σημείο

αφού $M\hat{D}C=2M\hat{A}C.$ Τότε $A\hat{C}M=\dfrac{A\hat{D}M}{2}=15^o.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:34 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, η είναι διάμεσος.

Αν $\theta <60^{0}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της.

Με $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle C$ ως προς $\displaystyle AB$ , το $\displaystyle \vartriangle DBC$ είναι ισόπλευρο

Λόγω των γωνιών $\displaystyle {30^0}$ , $\displaystyle DAMC$ είναι εγγράψιμο,συνεπώς $\displaystyle DA \bot AC$ και $\displaystyle AD = AC$ ,άρα $\displaystyle \angle DCA = {45^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{15}^0}}$

: 30-άρες.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα. Ακόμη μία υπέρ του Νόμου

: Τριαντάρες.PNG (6.44 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα MAC,BAC

παίρνουμε $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{MC}{AC}$ . Αν $BM=MC=k \Rightarrow AC=k\sqrt{2}$ .

Στο τρίγωνο MAC

ο Νόμος ημιτόνων μας δίνει $\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu 30^{0}}=\dfrac{AC}{MC}=\sqrt{2}\Rightarrow \eta \mu \omega =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

ενώ $\theta +30^{^{0}}< 90^{^{0}}\Rightarrow \omega > 90^{0}$ άρα $\omega =135^{^{0}}\Rightarrow \theta =15^{0}$ . Φιλικά , Γιώργος.

STOPJOHN · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:34 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, η είναι διάμεσος.

Αν $\theta <60^{0}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της.

Τα τρίγωνα AMC,ABC

είναι όμοια γιατί $\hat{MAC}=30^{0}=\hat{CBA},$

και $\hat{\theta }$ κοινή . Αρα $AM=\dfrac{ac}{2b},\dfrac{a^{2}}{2}=b^{2},(1)$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $BNC,NC=\dfrac{a}{2}=MN,AN^{2}=b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4},(2), (1),(2)\Rightarrow AM^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}\Leftrightarrow AM=\dfrac{a}{2}=NC \Rightarrow 30+\theta =60-\theta \Leftrightarrow \theta =15^{0}$

Γιάννης

Φανης Θεοφανιδης · #7

Ακούσατε για τριαντάρες και τρέξατε

.

Σας ευχαριστώ για τις υπέροχες λύσεις.

Η λύση μου είναι ίδια με του Παύλου, με τη διαφορά ότι εγώ κατασκεύασα ισόπλευρο πλευράς

.

#8

Και μία εκτός φακέλου της Α' αλλά μάλλον για την Β' Λυκείου, με Τριγωνομετρία για να θυμόμαστε και αυτή την τεχνική.

Από τον Νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα $ACM, \, ABM$ , αντίστοιχα, έχουμε

$\displaystyle{\frac {AM}{\sin \theta } = \frac {MC}{\sin 30 } , \,\,\, \frac {AM}{\sin 30 } = \frac {BM}{\sin (120-\theta) }}$ .

Διαιρώντας κατά μέλη είναι $\displaystyle{\frac {\sin 30}{\sin \theta } = \frac {\sin (120-\theta) }{\sin 30}}$ , οπότε

$\displaystyle{ \dfrac {1}{4} = \sin \theta \sin (120-\theta)= \dfrac {1}{2} ( \cos (120-2\theta) - \cos 120) = \dfrac {1}{2} \cos (120-2\theta) +\dfrac {1}{4}}$ . Άρα

$\displaystyle{ \cos (120-2 \theta)= 0 }$ ή $\displaystyle{120-2\theta = 90}$ , οπότε $\displaystyle{\theta = 15}$

Πω πω τριαντάρες!

Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Re: Πω πω τριαντάρες!

Μέλη σε σύνδεση