Τρίγωνο-110.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-110.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Δεκ 04, 2018 9:43 pm

1.png
1.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=AC, BD=AC και DE\parallel AB.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8985
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-110.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 05, 2018 10:06 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Δεκ 04, 2018 9:43 pm
1.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=AC, BD=AC και DE\parallel AB.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .
Τρίγωνο-110.png
Τρίγωνο-110.png (21.77 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές
Το ABD είναι ισοσκελές, οπότε B\widehat AD=70^\circ. Έστω σημείο Z της BC ώστε Z\widehat AD=30^\circ.

Τότε: \displaystyle B\widehat AZ = 40^\circ  = \widehat B \Leftrightarrow ZA = ZB και \displaystyle A\widehat ZD = 80^\circ  = A\widehat ED (λόγω DE||AB). Το AZDE είναι λοιπόν

χαρταετός και το AZE ισόπλευρο. Άρα Z είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABE και \displaystyle \theta  = \frac{{E\widehat ZA}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} \Leftrightarrow \boxed{\theta=30^\circ}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1773
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-110.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 05, 2018 8:29 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Δεκ 04, 2018 9:43 pm
1.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=AC, BD=AC και DE\parallel AB.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle BDO.

Είναι, \displaystyle BD = BA = BO και \displaystyle \angle ABO = {20^0},\displaystyle \angle OAB = {80^0} \Rightarrow O,A,E συνευθειακά και προφανώς \displaystyle OD = OE

Στον κύκλο \displaystyle \left( {O,OB} \right) , \displaystyle \boxed{\angle BED = \theta  = {{30}^0}} (σχέση επίκεντρης εγγεγραμένης)
t.110.png
t.110.png (26 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τρίγωνο-110.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Δεκ 09, 2018 1:54 pm

φανης.png
φανης.png (186.19 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ABK. Ας είναι \{ O \}=AK\cap BC. Τότε A\hat{D}B=70^o από το ισοσκελές τρίγωνο ABD και επιπλέον K\hat{A}D=10^o οπότε D\hat{A}C=30^o.
Από την παραλληλία της υπόθεσης E\hat{B}C=40^o οπότε το AODE είναι εγγράψιμο. Άρα O\hat{E}A=70^o.
Από το ισοσκελές τρίγωνο AKC είναι A\hat{C}K=70^o. Άρα το OECK είναι τραπέζιο και μάλιστα ισοσκελές αφού A\hat{K}C=70^o. Επομένως DK=OK=EC=ED δηλαδή το τρίγωνο DEK είναι ισοσκελές με D\hat{K}E=20^o.
Άρα το τρίγωνο AEK είναι ισοσκελές με AE=EK.
Τελικά η BE είναι μεσοκάθετος της AK οπότε A\hat{B}E=90^o-30^o=60^o.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης