Ισότητα τριγώνων

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

ann79
Δημοσιεύσεις: 218
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Ισότητα τριγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Νοέμ 07, 2018 10:10 am

Δίνονται τα τρίγωνα ABC,A'B'C' με \upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'}, και τις γωνίες B,B' ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2022
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ισότητα τριγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 07, 2018 12:25 pm

ann79 έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 10:10 am
Δίνονται τα τρίγωνα ABC,A'B'C' με \upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'}, και τις γωνίες B,B' ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.
Είναι ίσα.

Γράφω απόδειξη στην περίπτωση που \angle B< 1^{L}

Παρόμοια είναι όταν \angle B> 1^{L}

Εστω AH,A'H' τα ύψη και AD,A'D' οι διχοτόμοι.

Τα ορθογώνια τρίγωνα AHB και A'H'B' είναι ίσα.

Αρα AB=A'B' και \angle BAH=\angle B'A'H'

Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα HAD και H'A'D' είναι ίσα.

Αρα \angle HAD=\angle H'A'D'

Συμπεραίνουμε ότι \angle \frac{A}{2}=\angle BAH+\angle HAD=\angle B'A'H'+\angle H'A'D'=\angle \frac{A'}{2}

Δηλαδή \angle A=\angle A'

Από ΓΠΓ κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα.

Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5966
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα τριγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 07, 2018 12:49 pm

ann79 έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 10:10 am
Δίνονται τα τρίγωνα ABC,A'B'C' με \upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'}, και τις γωνίες B,B' ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.
Με πρόλαβαν

Αν AK,\,\,A'K'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD,\,\,A'D' τα ύψη και οι διχοτόμοι στα δύο τρίγωνα είναι δε \widehat {\theta \,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega συμπληρώματα των δεδομένων ίσων γωνιών , θα ισχύουν:

1. \vartriangle AKD = \vartriangle A'K'D' ( ορθογώνια με υποτείνουσες ίσες και μια κάθετη πλευρά του ενός ίση με μια κάθετη πλευρά του άλλου )

2. \vartriangle AKB = \vartriangle A'K'B'( ορθογώνια με μια κάθετη πλευρά και μια προσκείμενη οξεία γωνία, ίσες μια προς μια )

Ισότητα τριγώνων.png
Ισότητα τριγώνων.png (25.29 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
Από την πρώτη ισότητα έχω \widehat {KAD} = \widehat {K'A'D'} και άρα \widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'} δηλαδή

\dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {B'A'C'}}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'}}\,\,(1) , ενώ από τη δεύτερη \boxed{AB = A'B'}\,\,\,(2) ισχύει δε από την υπόθεση : \boxed{\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}}\,\,\,(3)

Τα αρχικά τρίγωνα τώρα λόγω των (1)\,\,,\,\,(2)\,\,,\,\,(3) και του κριτηρίου \Gamma  - \Pi  - \Gamma θα είναι ίσα.


Το αριστερό τρίγωνο έχει κατασκευαστεί με δεδομένα το ύψος και τη διχοτόμο από το A και τη γωνία του στο B . Λόγω δε του μονοσήμαντου

της κατασκευής τα τρίγωνα έιναι ίσα . Θεώρησα δε ότι οι ίσες γωνίες είναι οξείες


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης