Είναι τα τρίγωνα ίσα;
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Είναι τα τρίγωνα ίσα;
Σε δύο τρίγωνα , τα ύψη τους είναι ίσα .
Αν επί πλέον : είναι τα τρίγωνα ίσα ;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Είναι τα τρίγωνα ίσα;
Ενδιαφέρον. Λύνεται με διάφορους τρόπους (π.χ. παρατηρώντας ότι τα βρίσκονται στο ίδιο τόξο με χορδή και σε ίση απόσταση, δηλαδή τα μπορεί να είναι μόνο σε δύο θέσεις - συμμετρικές - και λοιπά). Βάζω όμως έναν πιο αλγεβρικό τρόπο με ύλη Β' Λυκείου.
Προφανώς τα δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά (ίσα ύψη και ίσες βάσεις) άρα , από όπου
Από τον Νόμο των συνημιτόνων , από όπου . Σε συνδυασμό με την εύκολα βλέπουμε (π.χ. με προσθαφαίρεση του στην πρώτη) ότι ή . Kαι λοιπά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Είναι τα τρίγωνα ίσα;
Για να δείξω ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, αρκεί να δείξω ότι το τρίγωνο με και ύψος
ορίζεται μονοσήμαντα (τα τρίγωνα που προκύπτουν από την κατασκευή είναι ίσα μεταξύ τους). Γράφω τόξο χορδής που δέχεται γωνία και φέρνω ευθεία παράλληλη στην και σε απόσταση από αυτήν που
τέμνει το τόξο γενικά σε δύο σημεία . Προφανώς, τα δύο τρίγωνα που ορίζονται από την κατασκευή είναι ίσα μεταξύ τους (σχηματίζεται ισοσκελές τραπέζιο κλπ).
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Είναι τα τρίγωνα ίσα;
Ας δούμε μια ακόμα προσέγγιση:
Έστω ότι .
Έστω και , (δίχως να χαλά η γενικότητα για το ύψος τους).
Τότε και
Είναι
, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα, αφού εύκολα (με Πυθαγόρειο Θεώρημα) προκύπτει ότι και οι πλευρές τους και θα είναι ανά δύο ίσες.
Αν , θα έχουμε δηλαδή κ.ο.κ.
Έστω ότι .
Έστω και , (δίχως να χαλά η γενικότητα για το ύψος τους).
Τότε και
Είναι
, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα, αφού εύκολα (με Πυθαγόρειο Θεώρημα) προκύπτει ότι και οι πλευρές τους και θα είναι ανά δύο ίσες.
Αν , θα έχουμε δηλαδή κ.ο.κ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες