Τετράπλευρο-10.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 6:53 pm

1.png

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Καλησπέρα Φάνη.

Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου BDC

. Έστω επίσης $K \equiv BO \cap AC$ . Τότε, ισχύει $\angle BOD=2\angle BCD=168^\circ$ . Επίσης, ισχύει OB=OD

, άρα $\angle DBO=6^\circ$ .

Έστω $P \equiv DK \cap BC$ . Τότε, παρατηρούμε ότι :

$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{(BDP)}{(PDC)}=\dfrac{BD \cdot \sin \angle BDP}{DC \cdot \sin \angle PDC}=\dfrac{\sin 84^\circ}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin \angle BDP}{\sin \angle PDC}$ (1).

Επίσης, $\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{\sin \angle BDK}{\sin \angle KDC} \cdot \dfrac{\sin 12^\circ}{\sin 6^\circ}$ (2).

Όμως, $\dfrac{\sin 84^\circ}{\sin 30^\circ}=2\cos 6^\circ=\dfrac{\sin 12^\circ}{\sin 6^\circ}$ , άρα από (1), (2) συμπεραίνουμε ότι $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{BK}{KC}$ . Άρα, η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle BKC$ . Έτσι, $\angle BKP=\angle PKC \Rightarrow \angle BDK+6^\circ=66^\circ-\angle BDK+12^\circ \Rightarrow \angle BDK=36^\circ$ .

Επίσης, είναι $\angle BAK=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB=36^\circ=\angle BDK$ , επομένως το ABKD

είναι εγγράψιμο, άρα $\angle DAC=\angle DBO=6^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=6^\circ}$ .

#3

: τετράπλευρο 10 Φάνης_αλλιώς.png (54.09 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ , έστω

το κέντρο του και

το σημείο τομής της προέκτασης της

μ αυτόν.

Τότε $\widehat {ABE} = 12^\circ$ και η

διχοτόμος του $\vartriangle BEC$ οπότε θα τέμνει το κύκλο στο νότιο πόλο

.

Επειδή δε $\widehat {BEC} = 60^\circ$ τα τμήματα $KS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται δίχα και κάθετα.

Μα τότε το τρίγωνο $DKS \to (132^\circ ,24^\circ ,24^\circ )$ και άρα

$\widehat {BDK} = 48^\circ \Rightarrow DK \bot AB \Rightarrow \boxed{DA = DB}$ . Δηλαδή $\widehat \theta + 36^\circ = 12^\circ + 30^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = 6^\circ }$ .

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (30.66 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Χρόνια Πολλά σε όλους.

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου DBC

, του οποίου το κέντρο ονομάζω

και φέρνω τα

τμήματα OB, OD, OC

. Έστω $P\equiv BO\cap AC$ . Φέρνω και το τμήμα

. Προφανώς το

τρίγωνο DOC

είναι ισόπλευρο. Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν πολύ εύκολα.

Οπότε $\angle POC=48^{0}$ . Άρα $\triangle PDO=\triangle PDC\Rightarrow \angle PDO=30^{0}$ .

Παρατηρώ ότι το ABPD

είναι εγγράψιμο (αφού η

φαίνεται από τις κορυφές του

και

υπό ίσες γωνίες $36^{0}$ ) $\Rightarrow \theta =6^{0}$ .

Τετράπλευρο-10.

Τετράπλευρο-10.

Re: Τετράπλευρο-10.

Re: Τετράπλευρο-10.

Re: Τετράπλευρο-10.

Μέλη σε σύνδεση