Μέσο από παραλληλία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μέσο από παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 am

Μέσο απο παραλληλία.png
Μέσο απο παραλληλία.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Δίδεται τρίγωνο ABC. Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα A,B τέμνονται στο σημείο M.

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο C και από το M παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB στα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το M είναι μέσο του DE..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέσο από παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 03, 2018 10:13 am

Καλημέρα κύριε Νίκο.

Έστω P σημείο στην εφαπτόμενη στο C, προς την μεριά του B. Τότε, \angle DEC=\angle BCP= \angle BAC, άρα το DABE είναι εγγράψιμο, άρα οι AB,DE είναι αντιπαράλληλες.

Επίσης, είναι γνωστό ότι η CM είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο ABC, και αφού επίσης οι AB,DE είναι αντιπαράλληλες, η CM είναι διάμεσος στο τρίγωνο DEC, άρα MD=ME.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέσο από παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 03, 2018 10:26 am

Άλλος Τρόπος:

Όπως πριν, το DEBA είναι εγγράψιμο, άρα \angle DEB=\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-\angle B- \angle MBA=\angle MBE, άρα \angle MEB=\angle MBE \Rightarrow MB=ME, και ομοίως MA=MD. Όμως, MA=MB, άρα MD=MA=MB=ME, ό.έ.δ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο από παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 03, 2018 10:39 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 10:26 am
Άλλος Τρόπος:

Όπως πριν, το DEBA είναι εγγράψιμο, άρα \angle DEB=\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-\angle B- \angle MBA=\angle MBE, άρα \angle MEB=\angle MBE \Rightarrow MB=ME, και ομοίως MA=MD. Όμως, MA=MB, άρα MD=MA=MB=ME, ό.έ.δ.
Μπροστά στα τσιτάχ (όπως λέει και ο Βήττας) δεν προλαβαίνει κανείς :clap2:

Μου έμεινε μόνο το σχήμα
Μέσο από παραλληλία.png
Μέσο από παραλληλία.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο από παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 03, 2018 11:48 am

Άλλη μία.
Μέσο από παραλληλία.β.png
Μέσο από παραλληλία.β.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές
"Πειράζω" λίγο την κατασκευή του σχήματος:
Έστω N το αντιδιαμετρικό του C. Η AN τέμνει την CB στο E και η κάθετη από το E στην CN τέμνει την CA στο D.

Προφανώς η εφαπτομένη στο C είναι παράλληλη στην DE. Αρκεί να δείξω ότι το M είναι σημείο του DE και μάλιστα το

μέσον του. Πράγματι, από κατασκευής το N είναι ορθόκεντρο του τριγώνου DEC, άρα οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A, B

τέμνονται στο μέσο M του DE.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέσο από παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Αύγ 04, 2018 1:43 am

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 am
Μέσο απο παραλληλία.png


Δίδεται τρίγωνο ABC. Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα A,B τέμνονται στο σημείο M.

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο C και από το M παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB στα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το M είναι μέσο του DE..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)

Η \displaystyle CO ως κάθετη στην εφαπτόμενη στο \displaystyle C ,θα είναι κάθετη και στην παράλληλή της \displaystyle DE

Ακόμη , \displaystyle ZA \bot AC και \displaystyle ZB \bot BC ,άρα \displaystyle DAZN και \displaystyle NEZB είναι εγγράψιμα.

Θεωρούμε τον κύκλο \displaystyle \left( {A,M,B,O} \right) που προφανώς περνά από το \displaystyle N αφού \displaystyle \angle OAM = \angle ONM = {90^0}

Αν, \displaystyle K,L μέσα των \displaystyle DC,CE αντίστοιχα, θα είναι \displaystyle KO//DZ και \displaystyle OL//ZE,επομένως όλες

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους ,όπως και οι κόκκινες

Έτσι τα τετράπλευρα \displaystyle KANO,ONBL είναι εγγράψιμα και ο περίκυκλος αυτών είναι ο \displaystyle \left( {A,M,B,O} \right)

που είναι ο κύκλος Euler του \displaystyle \vartriangle DCE,άρα \displaystyle M μέσον του \displaystyle DE
μέσο από παραλληλία.png
μέσο από παραλληλία.png (36.38 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές


nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Μέσο από παραλληλία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Αύγ 04, 2018 6:56 am

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 am
Μέσο απο παραλληλία.png


Δίδεται τρίγωνο ABC. Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα A,B τέμνονται στο σημείο M.

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο C και από το M παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB στα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το M είναι μέσο του DE..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)
Μέσο από παραλληλία.png
Μέσο από παραλληλία.png (22.64 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
.
Όλες οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες (λόγω παραλληλίας, υπό χορδής και εφαπτομένης στο ίδιο τόξο, κατακορυφήν) και το τρίγωνο ABM είναι ισοσκελές.

Οπότε από τα ισοσκελή τρίγωνα MAD, MEB είναι MD=MA=MB=ME.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης