Μέσο από παραλληλία

#1

: Μέσο απο παραλληλία.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Δίδεται τρίγωνο ABC

. Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα A,B

τέμνονται στο σημείο

.

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο

και από το

παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ στα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το

είναι μέσο του

..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλημέρα κύριε Νίκο.

Έστω

σημείο στην εφαπτόμενη στο

, προς την μεριά του

. Τότε, $\angle DEC=\angle BCP= \angle BAC$ , άρα το DABE

είναι εγγράψιμο, άρα οι AB,DE

είναι αντιπαράλληλες.

Επίσης, είναι γνωστό ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο ABC

, και αφού επίσης οι AB,DE

είναι αντιπαράλληλες, η

είναι διάμεσος στο τρίγωνο DEC

, άρα

.

Ορέστης Λιγνός · #3

Άλλος Τρόπος:

Όπως πριν, το DEBA

είναι εγγράψιμο, άρα $\angle DEB=\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-\angle B- \angle MBA=\angle MBE$ , άρα $\angle MEB=\angle MBE \Rightarrow MB=ME$ , και ομοίως MA=MD

. Όμως,

, άρα

, ό.έ.δ.

#4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 10:26 am
Άλλος Τρόπος:

Όπως πριν, το είναι εγγράψιμο, άρα $\angle DEB=\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-\angle B- \angle MBA=\angle MBE$ , άρα $\angle MEB=\angle MBE \Rightarrow MB=ME$ , και ομοίως . Όμως, , άρα , ό.έ.δ.

Μπροστά στα τσιτάχ (όπως λέει και ο Βήττας) δεν προλαβαίνει κανείς

Μου έμεινε μόνο το σχήμα

: Μέσο από παραλληλία.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

#5

Άλλη μία.

: Μέσο από παραλληλία.β.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

"Πειράζω" λίγο την κατασκευή του σχήματος:
Έστω

το αντιδιαμετρικό του

Η

τέμνει την

στο

και η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

Προφανώς η εφαπτομένη στο

είναι παράλληλη στην DE.

Αρκεί να δείξω ότι το

είναι σημείο του

και μάλιστα το

μέσον του. Πράγματι, από κατασκευής το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου DEC,

άρα οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A, B

τέμνονται στο μέσο

του

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 am
Μέσο απο παραλληλία.png

Δίδεται τρίγωνο . Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο και από το παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ στα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το είναι μέσο του ..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)

Η $\displaystyle CO$ ως κάθετη στην εφαπτόμενη στο $\displaystyle C$ ,θα είναι κάθετη και στην παράλληλή της $\displaystyle DE$

Ακόμη , $\displaystyle ZA \bot AC$ και $\displaystyle ZB \bot BC$ ,άρα $\displaystyle DAZN$ και $\displaystyle NEZB$ είναι εγγράψιμα.

Θεωρούμε τον κύκλο $\displaystyle \left( {A,M,B,O} \right)$ που προφανώς περνά από το $\displaystyle N$ αφού $\displaystyle \angle OAM = \angle ONM = {90^0}$

Αν, $\displaystyle K,L$ μέσα των $\displaystyle DC,CE$ αντίστοιχα, θα είναι $\displaystyle KO//DZ$ και $\displaystyle OL//ZE$ ,επομένως όλες

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους ,όπως και οι κόκκινες

Έτσι τα τετράπλευρα $\displaystyle KANO,ONBL$ είναι εγγράψιμα και ο περίκυκλος αυτών είναι ο $\displaystyle \left( {A,M,B,O} \right)$

που είναι ο κύκλος Euler του $\displaystyle \vartriangle DCE$ ,άρα $\displaystyle M$ μέσον του $\displaystyle DE$

: μέσο από παραλληλία.png (36.38 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

nikkru · #7

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 am
Μέσο απο παραλληλία.png

Δίδεται τρίγωνο . Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .

Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο και από το παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ στα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα.

Δείξετε ότι το είναι μέσο του ..

( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)

: Μέσο από παραλληλία.png (22.64 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

.
Όλες οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες (λόγω παραλληλίας, υπό χορδής και εφαπτομένης στο ίδιο τόξο, κατακορυφήν) και το τρίγωνο ABM

είναι ισοσκελές.

Οπότε από τα ισοσκελή τρίγωνα MAD, MEB

είναι

.

Μέσο από παραλληλία

Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Re: Μέσο από παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση