Τετράπλευρο-8.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.68 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ του παραπάνω σχήματος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png

Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ του παραπάνω σχήματος.

μια σύντομη λύση εκτός φακέλλου

Με $\displaystyle DP \bot AC$ εύκολα προκύπτουν οι γωνίες στο σχήμα και $\displaystyle \vartriangle PDC$ είναι ισόπλευρο

Το $\displaystyle \vartriangle BPD είναι \[({80^0}{,80^0}{,20^0})$ άρα $\displaystyle P{D^2} = P{C^2} = PB \cdot PA \Rightarrow PC$ εφαπτόμενη

του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle ABC \Rightarrow \angle PCB = {10^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{30}^0} - {{10}^0} = {{20}^0}}$

: t.8.png (35.63 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #3

Μία παρατήρηση στην υπέροχη λύση του Μιχάλη.

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Άρα $\angle BCD=50^{0}\Rightarrow \theta =20^{0}$ .

#4

: τετράπλευρο 8_ok_1.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Πρώτα-πρώτα έχουμε το τετράπλευρο του πιο πάνω του σχήματος

: τετράπλευρο 8_ok_2.png (52.5 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABD

που τέμνει τη διαγώνιο

στο

.

Θεωρώ και το σημείο

της πλευράς

έτσι ώστε

. Δηλαδή το $\vartriangle BSD$ είναι ισόπλευρο.

Τα τρίγωνα $DSM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCM$ έχουν τη

κοινή και τις προσκείμενες γωνίες $70^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,80^\circ$ και θα είναι ίσα , οπότε

$DS = DC \Rightarrow DC = DB \Rightarrow \widehat \theta + 30^\circ = 50^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = 20^\circ }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png

Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ του παραπάνω σχήματος.

...και η λύση εντός φακέλου..

Όπως αποδείχτηκε στην πρώτη μου ανάρτηση ,με $\displaystyle DP \bot AC \Rightarrow \vartriangle DPC$ ισόπλευρο και $\displaystyle BD = DP$

Επομένως ο κύκλος $\displaystyle \left( {D,DB} \right)$ περνά από τα $\displaystyle P,C$ και $\displaystyle \angle PCB = {10^0}$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)

Άρα, $\displaystyle \boxed{\theta = {{30}^0} - {{10}^0} = {{20}^0}}$

: t8.2.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Σταμ. Γλάρος · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png

Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ του παραπάνω σχήματος.

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...

: Τετράπλευρο 8.png (27.83 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

Προεκτείνω την

προς το μέρος του

και

προς το μέρος του

.
Οι προεκτάσεις τέμνονται στο

.
$\widehat{EBD}$ : εξωτερική του τριγώνου ABD

, συνεπώς $\widehat{EBD} = 80^o$ .
Άρα το τρίγωνο EBD

είναι ισοσκελές.
Φέρω

κάθετο στην

.
To

είναι ύψος , διάμεσος και διχοτόμος του EBD

και προεκτεινόμενο τέμνει την

στο

.
Δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος

.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το τρίγωνο GBD

είναι ισοσκελές, άρα και ισόπλευρο, αφού $\widehat{ADB} = 60^o$ .
Συνεπώς BG=GD=BD

. (1)
Επίσης ισχύει ότι τα τρίγωνα ACD

και

είναι ίσα διότι:

$\widehat{CAD} =$ $\widehat{DEG} =10^o$ επειδή : διχοτόμοι του ισοσκελούς τριγώνου

$\widehat{ADF}=$ $\widehat{EDF}$ επειδή : διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου