Τετράπλευρο-8.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο-8.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am

1.png
1.png (9.68 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές


Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-8.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιούλ 04, 2018 2:01 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png



Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.
μια σύντομη λύση εκτός φακέλλου


Με \displaystyle DP \bot AC εύκολα προκύπτουν οι γωνίες στο σχήμα και \displaystyle \vartriangle PDC είναι ισόπλευρο

Το \displaystyle \vartriangle BPD  είναι  \[({80^0}{,80^0}{,20^0}) άρα \displaystyle P{D^2} = P{C^2} = PB \cdot PA \Rightarrow PC εφαπτόμενη

του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle ABC \Rightarrow \angle PCB = {10^0} \Rightarrow \boxed{\theta  = {{30}^0} - {{10}^0} = {{20}^0}}
t.8.png
t.8.png (35.63 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο-8.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Ιούλ 04, 2018 8:27 pm

Μία παρατήρηση στην υπέροχη λύση του Μιχάλη.

Το τρίγωνο CDB είναι ισοσκελές.

Άρα \angle BCD=50^{0}\Rightarrow \theta =20^{0}
.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-8.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 06, 2018 1:07 pm

τετράπλευρο 8_ok_1.png
τετράπλευρο 8_ok_1.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές


Πρώτα-πρώτα έχουμε το τετράπλευρο του πιο πάνω του σχήματος

τετράπλευρο 8_ok_2.png
τετράπλευρο 8_ok_2.png (52.5 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές
Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABD που τέμνει τη διαγώνιο AC στο M.

Θεωρώ και το σημείο S της πλευράς AD έτσι ώστε DS = DB. Δηλαδή το \vartriangle BSD είναι ισόπλευρο.

Τα τρίγωνα DSM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCM έχουν τη MD κοινή και τις προσκείμενες γωνίες 70^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,80^\circ και θα είναι ίσα , οπότε

DS = DC \Rightarrow DC = DB \Rightarrow \widehat \theta  + 30^\circ  = 50^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 20^\circ }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-8.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιούλ 08, 2018 12:55 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png



Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.

...και η λύση εντός φακέλου..

Όπως αποδείχτηκε στην πρώτη μου ανάρτηση ,με \displaystyle DP \bot AC \Rightarrow \vartriangle DPC ισόπλευρο και \displaystyle BD = DP

Επομένως ο κύκλος \displaystyle \left( {D,DB} \right) περνά από τα \displaystyle P,C και \displaystyle \angle PCB = {10^0}(σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)

Άρα,\displaystyle \boxed{\theta  = {{30}^0} - {{10}^0} = {{20}^0}}
t8.2.png
t8.2.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τετράπλευρο-8.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Ιούλ 09, 2018 2:46 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:13 am
1.png



Καλημέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Τετράπλευρο 8.png
Τετράπλευρο 8.png (27.83 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
Προεκτείνω την AB προς το μέρος του B και DC προς το μέρος του C .
Οι προεκτάσεις τέμνονται στο E .
\widehat{EBD} : εξωτερική του τριγώνου ABD , συνεπώς \widehat{EBD} = 80^o .
Άρα το τρίγωνο EBD είναι ισοσκελές.
Φέρω EH κάθετο στην BD .
To EH είναι ύψος , διάμεσος και διχοτόμος του EBD και προεκτεινόμενο τέμνει την AD στο G .
Δηλαδή η AG είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος BD .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το τρίγωνο GBD είναι ισοσκελές, άρα και ισόπλευρο, αφού \widehat{ADB} = 60^o .
Συνεπώς BG=GD=BD . (1)
Επίσης ισχύει ότι τα τρίγωνα ACD και DEG είναι ίσα διότι:
  • \widehat{CAD} =  \widehat{DEG}  =10^o επειδή AC,EG: διχοτόμοι του ισοσκελούς τριγώνου ADE
    AD=DE
    \widehat{ADF}= \widehat{EDF} επειδή DF: διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου ADE
Επομένως CD=DG . (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει BD=CD , δηλαδή το τρίγωνο BCD είναι ισοσκελές.
Αφού \widehat{BDC} = 80^o συμπεραίνουμε ότι DCB=50^o .
Όμως \widehat{ACD} = 30^o ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ACE .
Άρα και \widehat{\theta }=30^o .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης