Από τρίγωνο σε τραπέζιο

Tolaso J Kos · #1

Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB \Gamma}$ με $\hat{\rm A}=90^\circ$ και $\hat{\rm B}= 30^\circ$ . Έστω ${\rm M}$ και ${\rm N}$ τα μέσα των πλευρών $\mathrm{AB}$ και $\mathrm{A \Gamma}$ αντίστοιχα και $\mathrm{K}$ μέσο του $\mathrm{MN}$ .

Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο $\mathrm{MN \Gamma B}$ είναι τραπέζιο. Είναι ισοσκελές;
Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $\mathrm{AMN}$ .
Να δειχθεί ότι $\mathrm{MN} = \mathrm{A \Gamma}$ .
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\mathrm{AKN}$ είναι ισόπλευρο και ισχύει $\displaystyle \mathrm{AK} = \frac{\mathrm{B \Gamma}}{4}$ .
Να δειχθεί ότι η διάμεσος $\mu$ του τραπεζίου $\mathrm{MN \Gamma B}$ είναι τριπλάσια του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{AK}$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 12:14 pm
Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB \Gamma}$ με $\hat{\rm A}=90^\circ$ και $\hat{\rm B}= 30^\circ$ . Έστω ${\rm M}$ και ${\rm N}$ τα μέσα των πλευρών $\mathrm{AB}$ και $\mathrm{A \Gamma}$ αντίστοιχα και $\mathrm{K}$ μέσο του $\mathrm{MN}$ .

Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο $\mathrm{MN \Gamma B}$ είναι τραπέζιο. Είναι ισοσκελές;

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $\mathrm{AMN}$ .

Να δειχθεί ότι $\mathrm{MN} = \mathrm{A \Gamma}$ .

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\mathrm{AKN}$ είναι ισόπλευρο και ισχύει $\displaystyle \mathrm{AK} = \frac{\mathrm{B \Gamma}}{4}$ .

Να δειχθεί ότι η διάμεσος $\mu$ του τραπεζίου $\mathrm{MN \Gamma B}$ είναι τριπλάσια του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{AK}$ .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...

: Από τρίγωνο σε τραπέζιο.png (53.7 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

(i)

: μέσα των $AB, A\Gamma$ αντιστοίχως.
Άρα $MN=//\dfrac{B\Gamma }{2}$ . Συνεπώς $MN\GammaB$ : τραπέζιο.
Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{\rm B}= 30^\circ$ και $\hat{\rm \Gamma}= 60^\circ$ .
Επομένως $AB\neq A\Gamma \Leftrightarrow \dfrac{AB}{2}=MB\neq N\Gamma =\dfrac{A\Gamma }{2}$ .
Άρα το τραπέζιο δεν είναι ισοσκελές .
(ii) $\widehat{AMN}=\widehat{B}=30^o$ ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων $MN,B\Gamma$ που τέμνονται από την

.
$\widehat{ANM}=\widehat{\Gamma}=60^o$ ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων $MN,B\Gamma$ που τέμνονται από την $\Gamma N$ .
(iii) Είναι $A\Gamma =\dfrac{B\Gamma }{2}$ , επειδή η απέναντί της γωνία είναι $\widehat{B}=30^o$ στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ .
Άρα $MN=\dfrac{B\Gamma }{2}=A\Gamma$ .
(iv) Στο ορθογώνιο τρίγωνο AMN

η

: διάμεσος .Συνεπώς $AK=\dfrac{MN }{2}=KN$ .
Άρα το τρίγωνο AKN

είναι ισοσκελές και επειδή από το (ii) $\widehat{ANM}=60^o$ συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο AKN

είναι ισόπλευρο.
Επίσης $AK=\dfrac{MN}{2}= \dfrac{\frac{B\Gamma }{2}}{2}=\dfrac{B\Gamma }{4}$ .
(v) Ισχύει $\mu =\dfrac{MN+B\Gamma }{2}=\dfrac{2AK+4AK}{2}=\dfrac{6AK}{2}=3AK$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Από τρίγωνο σε τραπέζιο

Από τρίγωνο σε τραπέζιο

Re: Από τρίγωνο σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση