Σταθερή περίμετρος

#1

: Σταθερή περίμετρος.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

οι ίσες πλευρές AB, AC

έχουν σταθερό μήκος, ενώ η βάση

μεταβάλλεται.

Οι κάθετες από τις κορυφές B, C

στις

αντίστοιχα, τέμνονται στο

Τα σημεία

κινούνται στις

πλευρές AB, AC,

έτσι ώστε $M\widehat DN=\dfrac{B\widehat DC}{2}.$ Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου AMN

είναι σταθερή.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #3

Καλησπέρα Γιώργο και Νίκο.

Έστω $P \equiv MD \cap BC, Q \equiv DN \cap BC, H \equiv MQ \cap NP, R \equiv DH \cap MN$ .

Είναι $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^\circ \Rightarrow ABDC$ εγγράψιμο, άρα $\widehat{BDC}=2\widehat{MND}=180^\circ-\widehat{A}$ .

Άρα, $\widehat{MDN}=90^\circ-\dfrac{\widehat{A}}{2}$ (1).

Ακόμη, αφού $\vartriangle ABC$ ισοσκελές, είναι $\widehat{B}=90^\circ -\dfrac{\widehat{A}}{2}$ (2).

Από (1), (2), $\widehat{MDN}=\widehat{B} \Rightarrow MBDQ$ εγγράψιμο, και αφού $\widehat{MBD}=90^\circ \Rightarrow mq \perp QD$ , και όμοια $NP \perp MD$ .

Άρα, το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle MDN$ , άρα $DR \perp MN$ .

Τώρα, αφού $\widehat{MPN}=\widehat{MQN}=90^\circ \Rightarrow MPQN$ εγγράψιμο.

Άρα, από τα εγγράψιμα $MBDQ, MPQN \Rightarrow \widehat{DMN}=\widehat{BQD}=\widehat{BMD}$ .

Έτσι, τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle MBD, \vartriangle MRD$ έχουν την

κοινή, και $\widehat{DMR}=\widehat{BMD}$ , άρα είναι ίσα. Έτσι, MB=MR

, και όμοια NR=NC

.

Τελικά, AM+AN+MN=AM+AN+MR+RN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB=ct

.

: ct.png (34.25 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λίγο διαφορετικά με άτοπο.

Όπως έγραψε και ο Ορέστης είναι $\angle MDN=90-\frac{A}{2}$

Φτιάχνουμε τον κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα BD=DC

Προφανώς αυτός εφάπτεται στις AB,AC

.

Θα δείξουμε ότι εφάπτεται και στην

Γιατί αν δεν εφάπτεται τότε η εφαπτομένη από το

σε αυτόν τέμνει την

στο

.

Επειδή ο κύκλος θα είναι ο παραγεγραμένος του τριγώνου AMN'

θα είναι $\angle MDN'=90-\frac{A}{2}$

Αρα τα N,N'

ταυτίζονται.

Ετσι αναγκαστικά ο κύκλος θα είναι παραγεγραμένος στο AMN

και κατά γνωστά η περίμετρος του τριγώνου

είναι 2AB

Σταθερή περίμετρος

Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση