Και όμορφη και εύκολη.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 959
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Και όμορφη και εύκολη.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Μάιος 25, 2018 9:02 pm

1.png
1.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC, ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του I.

Η CI τέμνει το κύκλο στο P και την εξωτερική διχοτόμο της \angle B στο K.

Δείξτε ότι το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου IBK.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6863
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Και όμορφη και εύκολη.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 25, 2018 10:49 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 9:02 pm
1.png

Δίνεται τρίγωνο ABC, ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του I.

Η CI τέμνει το κύκλο στο P και την εξωτερική διχοτόμο της \angle B στο K.

Δείξτε ότι το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου IBK.
Το ξέρω ως θεώρημα. Η απόδειξή μου είναι μάλλον εκτός φακέλου.
Και όμορφη και εύκολη.png
Και όμορφη και εύκολη.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Το K είναι το C- παράκεντρο του τριγώνου και από το θεώρημα του Mention το P είναι μέσο του IK

κι επειδή το τρίγωνο IBK είναι ορθογώνιο, το P θα είναι το περίκεντρό του.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5836
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Και όμορφη και εύκολη.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 25, 2018 11:04 pm

Ομορφη και εύκολη.png
Ομορφη και εύκολη.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές


Το \vartriangle KBI είναι ορθογώνιο στο K γιατί οι διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα .

Είναι : \widehat \omega  = \dfrac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ABP} ( βαίνουν στο ίδιο τόξο) και \widehat \theta  = \dfrac{{\widehat B}}{2} . Άρα :

\widehat \phi  = \widehat \theta  + \widehat \omega ως εξωτερική στο \vartriangle IBC , οπότε \widehat \phi  = \dfrac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = \widehat {IBP} \Rightarrow PB = PI.

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle KBI η BP είναι

διάμεσος προς υποτείνουσα και άρα το P είναι κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Και όμορφη και εύκολη.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μάιος 26, 2018 12:02 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 9:02 pm
1.png

Δίνεται τρίγωνο ABC, ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του I.

Η CI τέμνει το κύκλο στο P και την εξωτερική διχοτόμο της \angle B στο K.

Δείξτε ότι το P είναι το περίκεντρο του τριγώνου IBK.

\displaystyle \angle {C_1} = \angle {C_2} \Rightarrow AP = PB\displaystyle \left( 1 \right)

Είναι γνωστό ότι \displaystyle \angle {K_1} = \angle {A_1} = \frac{A}{2} άρα \displaystyle KAIB εγγράψιμο ,οπότε \displaystyle \angle {K_2} = \angle {B_1} = \frac{B}{2} και \displaystyle \angle KAI = {90^0}

Ισχύει, \displaystyle \angle {A_1} + {A_2} + {A_3} = {90^0} \Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{C}{2} + {A_3} = {90^0} \Rightarrow {A_3} = {B_1} = {K_2} = \frac{B}{2}

Έτσι, \displaystyle KP = PA \displaystyle \left( 2 \right).Από \displaystyle \left( 1 \right),\left( 2 \right) έπεται το ζητούμενο
o.e.png
o.e.png (18.71 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6863
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Και όμορφη και εύκολη.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 26, 2018 10:49 am

Άλλη μία απόδειξη ότι το P είναι μέσο του IK.
Και όμορφη και εύκολη.ΙΙ.png
Και όμορφη και εύκολη.ΙΙ.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
To I είναι ορθόκεντρο του τριγώνου KLM, οπότε ο περίκυκλος του ABC είναι ο κύκλος Euler του KLM, άρα το P είναι μέσο του IK.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης