Και όμορφη και εύκολη.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Δίνεται τρίγωνο , ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του .

Η τέμνει το κύκλο στο και την εξωτερική διχοτόμο της $\angle B$ στο .

Δείξτε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 9:02 pm
1.png

Δίνεται τρίγωνο , ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του .

Η τέμνει το κύκλο στο και την εξωτερική διχοτόμο της $\angle B$ στο .

Δείξτε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

Το ξέρω ως θεώρημα. Η απόδειξή μου είναι μάλλον εκτός φακέλου.

: Και όμορφη και εύκολη.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Το

είναι το

παράκεντρο του τριγώνου και από το θεώρημα του Mention το

είναι μέσο του

κι επειδή το τρίγωνο IBK

είναι ορθογώνιο, το

θα είναι το περίκεντρό του.

#3

: Ομορφη και εύκολη.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Το $\vartriangle KBI$ είναι ορθογώνιο στο

γιατί οι διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα .

Είναι : $\widehat \omega = \dfrac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ABP}$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο) και $\widehat \theta = \dfrac{{\widehat B}}{2}$ . Άρα :

$\widehat \phi = \widehat \theta + \widehat \omega$ ως εξωτερική στο $\vartriangle IBC$ , οπότε $\widehat \phi = \dfrac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = \widehat {IBP} \Rightarrow PB = PI$ .

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle KBI$ η

είναι

διάμεσος προς υποτείνουσα και άρα το

είναι κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 9:02 pm
1.png

Δίνεται τρίγωνο , ο περίκυκλος αυτού και το έγκεντρό του .

Η τέμνει το κύκλο στο και την εξωτερική διχοτόμο της $\angle B$ στο .

Δείξτε ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

$\displaystyle \angle {C_1} = \angle {C_2} \Rightarrow AP = PB$ $\displaystyle \left( 1 \right)$

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \angle {K_1} = \angle {A_1} = \frac{A}{2}$ άρα $\displaystyle KAIB$ εγγράψιμο ,οπότε $\displaystyle \angle {K_2} = \angle {B_1} = \frac{B}{2}$ και $\displaystyle \angle KAI = {90^0}$

Ισχύει, $\displaystyle \angle {A_1} + {A_2} + {A_3} = {90^0} \Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{C}{2} + {A_3} = {90^0} \Rightarrow {A_3} = {B_1} = {K_2} = \frac{B}{2}$

Έτσι, $\displaystyle KP = PA$ $\displaystyle \left( 2 \right)$ .Από $\displaystyle \left( 1 \right),\left( 2 \right)$ έπεται το ζητούμενο

: o.e.png (18.71 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

#5

Άλλη μία απόδειξη ότι το

είναι μέσο του IK.

: Και όμορφη και εύκολη.ΙΙ.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

To

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου KLM,

οπότε ο περίκυκλος του ABC

είναι ο κύκλος Euler του KLM,

άρα το

είναι μέσο του IK.

Και όμορφη και εύκολη.

Και όμορφη και εύκολη.

Re: Και όμορφη και εύκολη.

Re: Και όμορφη και εύκολη.

Re: Και όμορφη και εύκολη.

Re: Και όμορφη και εύκολη.

Μέλη σε σύνδεση