Ισοσκελές από σκαληνό

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3105
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισοσκελές από σκαληνό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 14, 2018 7:23 am

Δίνεται τρίγωνο ABC με AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3. Φέρουμε τη διχοτόμο BD και έστω M το μέσο της. Να δείξετε ότι το  \triangleleft ADM είναι ισοσκελές.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 14, 2018 10:31 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 7:23 am
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3. Φέρουμε τη διχοτόμο BD και έστω M το μέσο της. Να δείξετε ότι το  \triangleleft ADM είναι ισοσκελές.
Ισοσκελές Νάννου.png
Ισοσκελές Νάννου.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Ας είναι N το μέσο του BC και O η τομή των AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD. Θα ισχύουν :

BA = BN = 2 \Rightarrow \boxed{BO \bot AN}\,\,\,(1)\,\,\, \Rightarrow MA = MN και MN// = \dfrac{{DC}}{2} , οπότε :\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}}\,\,\,(\,2) . Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω AM = AD.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6771
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 14, 2018 2:00 pm

Χαιρετώ τους φίλους!

H AC δεν παίζει κανένα ρόλο. Αρκεί να είναι BC=2AB.
Ισοσκελές από σκαληνό.png
Ισοσκελές από σκαληνό.png (13.1 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
Πράγματι τα τρίγωνα ABM, CBD είναι πάντοτε όμοια (δύο πλευρές ανάλογες με λόγο αναλογίας 1:2

και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες λόγω διχοτόμου), οπότε οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ADM ισοσκελές.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6771
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 14, 2018 3:02 pm

Αλλιώς...
Ισοσκελές από σκαληνό.ΙΙ.png
Ισοσκελές από σκαληνό.ΙΙ.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Αν N το μέσο της DC τότε τα τρίγωνα AMB, NDM είναι ίσα (Π-Γ-Π), A\widehat MD=A\widehat DM,

ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1288
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 14, 2018 3:25 pm

Από Θεώρημα Διχοτόμων στο \vartriangle ABC, βρίσκουμε AD=1 (1)

Φέρνουμε ME \parallel AC. Τότε, αφού MB=MD \Rightarrow BE=EC=2, CD=2ME.

Αφού όμως CD=2 \Rightarrow ME=1 \Rightarrow ME \parallel = AD, άρα MEDA παραλληλόγραμμο, επομένως AM=DE (2).

Με Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle ABC, βρίσκουμε το \cos \widehat{C}, και με Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle CED, βρίσκουμε ED=1 (3).

Από (1), (2), (3), 1=DE=AM=AD \Rightarrow \vartriangle AMD ισοσκελές.
B-ISOSKELES.png
B-ISOSKELES.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 15, 2018 2:22 am

Χαιρετώ την παρέα! Με χρήση του σχήματος
15-5 Ισοσκελές ..Μ.Ν.PNG
15-5 Ισοσκελές ..Μ.Ν.PNG (6.7 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Είναι BC=2AB και BD διχοτόμος , άρα και DC=2AD.

Τα τρίγωνα BCD,BED προφανώς ίσα. Ετσι AM=DE/2=DC/2=AD.
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3105
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 15, 2018 3:49 pm

Ευχαριστώ τους φίλους για τις ωραίες λύσεις τους και ιδιαιτέρως το Γιώργο Βισβίκη για τη γενίκευση. Ακολουθεί μια παραλλαγή της λύσης του Γιώργου Μήτσιου!
shape.png
shape.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 15, 2018 10:10 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 7:23 am
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3. Φέρουμε τη διχοτόμο BD και έστω M το μέσο της. Να δείξετε ότι το  \triangleleft ADM είναι ισοσκελές.

Μια λύση εκτός φακέλλου.

Από θ.διχοτόμου έχουμε \displaystyle AD = 1,DC = 2 κι έστω ότι η μεσοκάθετος της \displaystyle BD

τέμνει την \displaystyle CA στο \displaystyle E την \displaystyle AB στο \displaystyle G και την \displaystyle BC στο \displaystyle P

Το τρίγωνο \displaystyle GBP είναι ισοσκελές κι επειδή \displaystyle \angle BGP = \angle EPC = y + \theta  \Rightarrow \angle ABE = y

Έτσι ,η \displaystyle EB = x θα είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του τριγώνου \displaystyle ABC

Επομένως, \displaystyle E{B^2} = EA \cdot EC \Rightarrow {x^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \Rightarrow \boxed{x = 2}

Άρα \displaystyle ED = 2 \Rightarrow A μέσον της \displaystyle ED \Rightarrow \boxed{AM = AD = 1}
ισοσκελές.png
ισοσκελές.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης