mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 11, 2018 10:18 pm**

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup AB \Gamma$ και το ύψος του $A \Delta$ . Η μεσοκάθετος της

τέμνει το $A \Delta$ στο

. Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την $B \Gamma$ στο

. Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\bigtriangleup BEM$ βρίσκεται πάνω στην

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2018 9:15 am**

TasosBat έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 11, 2018 10:18 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup AB \Gamma$ και το ύψος του $A \Delta$ . Η μεσοκάθετος της τέμνει το $A \Delta$ στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την $B \Gamma$ στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\bigtriangleup BEM$ βρίσκεται πάνω στην .

Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος τέμνει την

στο

: Περιγεγραμμένος..png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

To

είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε PE=MB=MA.

Αλλά λόγω του εγγεγραμμένου MEBP

και του

ισοσκελούς τριγώνου AMB,

οι πράσινες γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε το APEM

είναι παραλληλόγραμμο,

άρα η

είναι κάθετη στη BC,

η

είναι διάμετρος του κύκλου και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2018 11:34 am**

TasosBat έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 11, 2018 10:18 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup AB \Gamma$ και το ύψος του $A \Delta$ . Η μεσοκάθετος της τέμνει το $A \Delta$ στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την $B \Gamma$ στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\bigtriangleup BEM$ βρίσκεται πάνω στην .

Αν η μεσοκάθετος στο

κόψει τη

, τότε το

είναι ορθόκεντρο στο τρίγωνο

ABZ

του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος θα διέρχεται από το

, συμμετρικό

του

ως προς τη

. Έστω

το σημείο τομής των $NE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ .

Αβίαστα προκύπτει ότι οι με ίδιο χρώμα γωνίες (στο σχήμα) είναι ίσες μεταξύ τους .

: Περιγεγραμμενος.png (45.1 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Επειδή η $\widehat \phi = \widehat {NMZ} = \widehat {MAZ} + \widehat {AZM} = \widehat \omega + \widehat \theta = \widehat {EBK}$ , το σημείο

ανήκει στη

μεσοκάθετό του

. Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο KBNM

( γιατί τα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ βλέπουν υπό ίσες γωνίες την

) έχω :

$\widehat x = \widehat {MBN} = 2\widehat {EBM}$ , άρα το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου MBE

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2018 4:21 pm**

TasosBat έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 11, 2018 10:18 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup AB \Gamma$ και το ύψος του $A \Delta$ . Η μεσοκάθετος της τέμνει το $A \Delta$ στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την $B \Gamma$ στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\bigtriangleup BEM$ βρίσκεται πάνω στην .

$\displaystyle ZE$ είναι διάμετρος του κύκλου $\displaystyle \Rightarrow ZB \bot BC$ και οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες

Έτσι, $\displaystyle BK$ μεσοκάθετος της $\displaystyle ZM$ άρα επί της $\displaystyle BK$ ανήκει το κέντρο του κύκλου

: περιγεγραμμένος.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2018 1:29 am**

Εξαιρετικές και οι τρεις λύσεις. Εγώ είχα κατά νου την λύση του κ. Μιχάλη ( Μιχάλης Τσουρακάκης). Bonus ερώτημα: Ισχύει το ζητούμενο αν το $\bigtriangleup AB \Gamma$ είναι αμβλυγώνιο;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2018 4:07 am**

TasosBat έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 1:29 am
Εξαιρετικές και οι τρεις λύσεις. Εγώ είχα κατά νου την λύση του κ. Μιχάλη ( Μιχάλης Τσουρακάκης). Bonus ερώτημα: Ισχύει το ζητούμενο αν το $\bigtriangleup AB \Gamma$ είναι αμβλυγώνιο;

Ναι ισχύει . το περίκεντρο είναι εν γένει σημείο της ευθείας

mathematica.gr

Περιγεγραμμένος

Περιγεγραμμένος

Re: Περιγεγραμμένος

Re: Περιγεγραμμένος

Re: Περιγεγραμμένος

Re: Περιγεγραμμένος

Re: Περιγεγραμμένος