Ισογώνιες

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισογώνιες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

Ισογώνιες.png
Ισογώνιες.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
BM είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η κάθετη από το A στη BM

τέμνει τη BM στο D και την BC στο E. Να δείξετε ότι A\widehat MB=E\widehat MC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισογώνιες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 03, 2018 9:08 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm
Ισογώνιες.png
BM είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η κάθετη από το A στη BM

τέμνει τη BM στο D και την BC στο E. Να δείξετε ότι A\widehat MB=E\widehat MC.

Ισογώνιες.png
Ισογώνιες.png (24.74 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές
Το σημείο τομής G των διαμέσων AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM είναι το βαρύκεντρο του \vartriangle ABC

αλλά και το ορθόκεντρο του \vartriangle ABE συνεπώς το τετράπλευρο AGEC είναι

ισοσκελές τραπέζιο και έτσι τα τρίγωνα AMG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CME είναι ίσα .

Στο ισοσκελές τρίγωνο MGE το ύψος προς τη βάση GE είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του .

Συνεπώς \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} ως συμπληρώματα ίσων γωνιών .

Παρατήρηση : Μετά από την ισότητα των τριγώνων έχουμε άμεσα και την ισότητα των γωνιών που θέλουμε
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Μάιος 04, 2018 2:57 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισογώνιες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 04, 2018 1:01 am

Χαιρετώ!
Ισογώνιες.PNG
Ισογώνιες.PNG (9.48 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Θεωρώ το τετράγωνο BACU. Τα ορθ. τρίγωνα BAM,CAN είναι ίσα αφού έχουν
AB=AC και \widehat{ABM}=\widehat{CAN} (οξείες με κάθετες πλευρές) άρα NC=AM δηλ. N μέσον της CU.

Στο τρίγωνο ACU το E είναι το βαρύκεντρο , ως τομή των διαμέσων AN,CO συνεπώς τα U,E,M συνευθειακά.
Από τα ίσα τρίγωνα BAM,CUM έπεται το ζητούμενο .
Φιλικά Γιώργος .


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3280
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισογώνιες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μάιος 04, 2018 2:46 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

BM είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η κάθετη από το A στη BM

τέμνει τη BM στο D και την BC στο E. Να δείξετε ότι A\widehat MB=E\widehat MC.
Χαιρετώ. Μια λύση με ομοιότητα!
shape.png
shape.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές
Φέρω EK \bot AC και θέτω KC = KE = 2x\, \wedge \,MK = y

Τα ορθογώνια  \triangleleft MAB, \triangleleft EKA είναι όμοια με λόγο καθέτων 1:2, οπότε

AK = 2KE \Leftrightarrow 2x + 2y = 4x \Leftrightarrow x = y

Έτσι, το  \triangleleft MKE είναι όμοιο με τα αρχικά και το ζητούμενο έπεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3280
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισογώνιες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μάιος 04, 2018 8:59 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

BM είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η κάθετη από το A στη BM

τέμνει τη BM στο D και την BC στο E. Να δείξετε ότι A\widehat MB=E\widehat MC.
shape.png
shape.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
Φέρω CZ \bot AE και M' συμμετρικό του M ως προς AB

Από αντίστροφο Θαλή προκύπτει EM\parallel BM' και το ζητούμενο είναι άμεσο.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3280
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισογώνιες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 05, 2018 2:27 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

BM είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η κάθετη από το A στη BM

τέμνει τη BM στο D και την BC στο E. Να δείξετε ότι A\widehat MB=E\widehat MC.
shape.png
shape.png (9 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Αν CZ \bot AC, τότε από την ισότητα των τριγώνων BAM,ACZ\, \wedge \,ECM,ECZ το ζητούμενο έπεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισογώνιες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 06, 2018 12:04 am

Xαιρετώ και πάλι τους φίλους. Καταιγιστικός ο Μιχάλης !
Χάρηκα περισσότερο την 3η λύση του , η οποία αποτελεί σαφή βελτίωση αυτής που έδωσα
διατηρώντας από το σχήμα μόνο τα ..απέριττα! Στη συνέχεια ελαφρά παραλλαγή της λύσης του Νίκου
5-4-18 Ισογώνιες.PNG
5-4-18 Ισογώνιες.PNG (6.64 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Είναι OA=OB=OC και \widehat{OAE}=\widehat{OBG}=\omega άρα τα ορθ. τρίγωνα AOE,BOG είναι ίσα.

Τότε OE=OG  \Rightarrow AG=CE.

Έτσι τα τρίγωνα MAG, MEC προφανώς ίσα και το ζητούμενο άμεσο. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες