Τετράπλευρο-6.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο-6.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Απρ 21, 2018 9:49 pm

1.png
1.png (10.68 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράπλευρο-6.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 22, 2018 1:21 am

Καλημέρα !
Τετράπλευρο 6.PNG
Τετράπλευρο 6.PNG (9.83 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Φέρω από το A κάθετη στην BD που την τέμνει στο E και τέμνει την DC στο Z.

Η DE διχοτόμος και ύψος στο τρίγωνο DAZ άρα AD=AZ

Με την βοήθεια των γωνιών και το τρίγωνο ZAC είναι ισοσκελές και βρίσκουμε AB=2AE=AZ=AC

δηλ. το ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές συνεπώς \widehat{CBD}=45^{0}-30^{0}=15^{0}.
Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-6.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 22, 2018 1:35 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 9:49 pm
1.png

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.

Με \displaystyle DE \bot AC και \displaystyle CM \bot BD , \displaystyle DZ \bot BA κι επειδή \displaystyle \angle DAZ = {45^0} \Rightarrow EDZA τετράγωνο

Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων \displaystyle EDC,DCM \Rightarrow ED = DM = DZ = ZA με \displaystyle \angle MDZ = {60^0}

Έτσι το \displaystyle \vartriangle MDZ είναι ισόπλευρο άρα \displaystyle MZ = ZA και \displaystyle \angle MZA = {30^0} \Rightarrow \boxed{\angle MAC = {{15}^0} = x} (το \displaystyle BCMA είναι εγγράψιμο)
t-6.png
t-6.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-6.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 22, 2018 11:25 am

Τετράπλευρο_6.png
Τετράπλευρο_6.png (30.45 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Ας είναι K το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο \vartriangle ADC .

Αβίαστα προκύπτουν :

1. Το αντιδιαμετρικό E του C σ αυτό τον κύκλο ανήκει στην ευθεία BA.

2. Το τρίγωνο ACE \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ ) ,ι το τετράπλευρο AKDB είναι ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο AKC, ισόπλευρο .

Άρα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές ορθογώνιο οπότε \boxed{\widehat \theta  = 15^\circ }.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3319
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο-6.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Απρ 22, 2018 11:43 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 9:49 pm


Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta του παραπάνω σχήματος.
shape.png
shape.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές
Η διχοτόμος της \Gamma \widehat {\rm A}{\rm B} τέμνει την \Delta \Gamma στο Ε και έστω {\rm I} \equiv {\rm A}\Gamma  \cap {\rm B}\Delta

Το {\rm I} είναι το έγκεντρο του  \triangleleft \Delta {\rm E}{\rm A} και το {\rm E}{\rm I}{\rm A}{\rm B} είναι εγγράψιμο.

Από τα  \triangleleft {\rm E}\Gamma {\rm B}({120^ \circ }{,30^ \circ }{,30^ \circ })\,\& \, \triangleleft {\rm E}{\rm I}{\rm B}({90^ \circ }{,45^ \circ }{,45^ \circ }) προκύπτει \theta  = {45^ \circ } - {30^ \circ } = {15^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο-6.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 22, 2018 1:11 pm

1.png
1.png (20.79 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές
Στα βήματα του Νίκου ο οποίος ισχυρίζεται ότι:
αν λύσει γεωμετρική άσκηση, χωρίς να εμπλέξει κύκλο, είναι σαν να τρώει ψάρι δίχως κόκκαλα :lol: .

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου BA\Delta του οποίου το κέντρο ονομάζω O
και φέρνω τα τμήματα OB, OA, O\Delta , O\Gamma .
Προφανώς \angle \Delta A\Gamma =45^{0}.
Είναι \angle AO\Delta =2\angle AB\Delta \Rightarrow
\Rightarrow \angle AO\Delta =60^{0}\Rightarrow
\Rightarrow το τρίγωνο AO\Delta είναι ισόπλευρο\Rightarrow
\Rightarrow \angle O\Delta \Gamma =30^{0}\Rightarrow
\Rightarrow \triangle O\Delta \Gamma =\triangle \Gamma \Delta A\Rightarrow
\Rightarrow \angle \Gamma O\Delta =\angle \Delta A\Gamma \Rightarrow
\Rightarrow \angle \Gamma O\Delta =45^{0}.
Αλλά \angle BO\Delta =90^{0}(αφού \angle \Delta AB=135^{0})\Rightarrow
\Rightarrow \angle BO\Gamma =45^{0}.
Παρατηρώ ότι \triangle BO\Gamma =\triangle \Gamma O\Delta \Rightarrow
\Rightarrow \Gamma B=\Gamma \Delta \Rightarrow
\Rightarrow \theta =15^{0}.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο-6.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 22, 2018 4:10 pm

Παίρνουμε σημείο K \in BA, ώστε AK=AC, και φέρνουμε KP \perp BD.

Είναι \widehat{DAK}=\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=45^\circ. Επίσης, \widehat{CAD}=90^\circ-\widehat{DAK}=45^\circ.

Έτσι, τα \vartriangle CAD, \vartriangle KAD είναι ίσα (AC=AK, AD κοινή, \widehat{CAD}=\widehat{KAD}=45^\circ), άρα \widehat{ADK}=\widehar{CDA}=30^\circ, άρα \widehat{PDK}=45^\circ και DK=DC.

Αφού όμως, \widehat{CDK}=60^\circ \Rightarrow CK=CD=DK.

Επίσης, από το ορθογώνιο \vartriangle BKP, είναι \widehat{PBK}=30^\circ, άρα AB+AC=AB+AK=BK=2PK (1).

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές \vartriangle PDK, είναι DK=PK \sqrt{2} (2).

Από (1), (2) AB+AC=2PK=DK\sqrt{2}=CK\sqrt{2}=2CA \Rightarrow AB=AC, οπότε το \vartriangle ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα \theta+30^\circ=45^\circ \Rightarrow \theta=15^\circ.
gonia.png
gonia.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης