Τρίγωνο-68.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Χρόνια πολλά σ΄ όλους.

Ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

KARKAR · #2

Το

προεκτεινόμενο , είναι ύψος και διχοτόμος ,

συνεπώς CA=CB

, άρα $\theta=22.5^0$ .

Φανης Θεοφανιδης · #3

Διχοτόμος ναι.
Αλλά δεν καταλαβαίνω Θανάση, γιατί είναι και ύψος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:10 pm
1.png
Χρόνια πολλά σ΄ όλους.

Ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

$\displaystyle M{B^2} = M{A^2} = MD \cdot MC \Rightarrow CM$ διάμεσος και διχοτόμος ,άρα μεσοκάθετος της $\displaystyle AB$

Έτσι , $\displaystyle \angle DAC = 2\theta$ και $\displaystyle 8\theta = {180^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{22.5}^0}}$

: T68.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

#5

: τρίγωνο 68.png (18.22 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Δεχόμενοι βάσει του σχήματος ότι το σημείο

είναι εσωτερικό του τριγώνου ABC

και τα τρίγωνα DAC,DBC

είναι αμβλυγώνια αυτά θα είναι και ίσα ( έμμεσο

κριτήριο) οπότε το τρίγωνο έχει συνολικά άθροισμα γωνιών $8\widehat \theta = 180 \Rightarrow \widehat \theta = {22,5^0}$ .

: τρίγωνο 68_new.png (12.97 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Αν δεν λάβουμε στα υπ’ όψη ότι τα τρίγωνα DAC,DBC

είναι αμβλυγώνια ( και δεν έιναι ίσα)

Τότε $\widehat \phi + 2\widehat \theta = 180^\circ$ προφανώς αδύνατο , άρα και πάλι αναγκάζονται τα τρίγωνα αυτά να είναι ίσα .

KARKAR · #6

: κάθετη.png (6.99 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Γενικότερα , δείξτε ότι στο σχήμα , όπου $\phi\neq\theta$ , $\omega\neq2\theta$ ,

η $A\Delta$ είναι κάθετη προς την $B\Gamma$ .

#7

: Τρίγωνο 68.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

To

είναι εγγράψιμο ( $\displaystyle A\widehat DE = 2\theta$ ). Άρα DE=DZ

και τα τρίγωνα DAE, DBZ

είναι ίσα.

Άρα, $\displaystyle D\widehat BZ = 2\theta \Leftrightarrow 8\theta = {180^0} \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=22,5^0}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 7:18 am
κάθετη.pngΓενικότερα , δείξτε ότι στο σχήμα , όπου $\phi\neq\theta$ , $\omega\neq2\theta$ ,

η $A\Delta$ είναι κάθετη προς την $B\Gamma$ .

Έστω $\displaystyle AB > AC$ ( όμοια αν $\displaystyle AB < AC$ ) .

Τότε από τα τρίγωνα $\displaystyle ADB,ADC \Rightarrow {180^0} - x > {180^0} - y \Rightarrow x < y$

κι έτσι από τα τρίγωνα $\displaystyle BDE,DEC \Rightarrow BE < EC$

Όμως(θ.διχοτόμου) $\displaystyle \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} > 1 \Rightarrow BE > EC$ άτοπο.

Άρα $\displaystyle AB = AC \Rightarrow AD \bot BC$

: κάθετη.png (5.01 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

STOPJOHN · #9

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:10 pm
1.png
Χρόνια πολλά σ΄ όλους.

Ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ισχύουν οι σχέσεις $H\Delta \Gamma =3\theta ,\hat{\Delta HB}=4\theta ,\hat{BZ\Gamma }=4\theta =\hat{BHA}$ Οπότε το τετράπλευρο $\Delta H\Gamma Z$
είναι εγράψιμο σε κύκλο .
Ομοίως $\hat{B\Delta H}=2\theta =\hat{\Delta ZH}+\hat{\Delta HZ},\theta =\hat{\Delta \Gamma H}=\hat{\Delta ZH}$
Αρα και το τετράπλευρο BHZA

είναι εγράψιμο σε κύκλο και στο τρίγωνο $AB\Gamma ,8\theta =180^{0}\Leftrightarrow \theta =22,5$

Γιάννης

Φανης Θεοφανιδης · #10

: 1.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Στο ερώτημα του Θανάση.

Φέρνω την $(\varepsilon )\perp A\Delta$ στο σημείο $\Delta$ .
Έστω $E\equiv (\varepsilon )\cap AB, Z\equiv (\varepsilon )\cap A\Gamma$ .
Προφανώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το $\Delta$ μέσο του .
Παρατηρώ ότι τα τρίγωνα $BE\Delta , \Delta Z\Gamma$ είναι ίσα αφού έχουν
$E\Delta =\Delta Z, B\Delta =\Delta \Gamma, \angle BE\Delta =\angle \Delta Z\Gamma =90^{0}+\varphi$ .
Άρα $BE=Z\Gamma$ .
Συνεπώς το τρίγωνο $BA\Gamma$ είναι ισοσκελές $\Rightarrow A\Delta \perp B\Gamma$ .