Ομορφιές ισοπλεύρου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5746
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ομορφιές ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 14, 2018 12:23 pm

Ομορφιές σε ισόπλευρο.png
Ομορφιές σε ισόπλευρο.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a. Πάνω στις πλευρές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC έστω τα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα με , BD = CE = \dfrac{a}{3}.

Τα σημεία M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K είναι τα μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EA αντίστοιχα . Δείξετε ότι το τρίγωνο KDM είναι ισόπλευρο .

Κάθε λύση είναι δεκτή , έχει όμως λύση εντός φακέλου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μαρ 14, 2018 1:49 pm

Καλημέρα κύριε Νίκο!

Χωρίς βλάβη έστω AB=BC=CA=6a, οπότε AD=4a, BD=EC=2a, MC=MB=3a.

Έστω L το μέσο του BE, οπότε BL=LE=2a, και BD=BL, \widehat{B}=60^\circ, άρα \vartriangle BDL ισόπλευρο.

Έτσι, DL=BL=LE \Rightarrow \vartriangle BDE ορθογώνιο και \widehat{DEB}=30^\circ.

Επομένως, \widehat{ADE}=\widehat{AME}=90^\circ \Rightarrow A,D,M,E ομοκυκλικά σε κύκλο με κέντρο το K \Rightarrow KA=KD=KM=KE (1).

Επίσης, από επίκεντρη-εγγεγραμμένη \widehat{DKM}=2\widehat{DEM}=60^\circ \Rightarrow \widehat{DKM}=60^\circ (2).

Από (1),(2) \vartriangle DKM ισόπλευρο.
isopleuro-doloros.png
isopleuro-doloros.png (39.65 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μαρ 14, 2018 1:52 pm

Καλύπτω το φάκελο, για το παρακάτω σχήμα
12.PNG
12.PNG (36.15 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
\displaystyle \left. \begin{gathered} 
  ABH = ANC \Rightarrow AH = NC \hfill \\ 
  \left. \begin{gathered} 
  \left. \begin{gathered} 
  EM = \frac{1}{2}HE \hfill \\ 
  EK = \frac{1}{2}AE \hfill \\  
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow KM = \frac{1}{2}AH \hfill \\ 
  \left. \begin{gathered} 
  BD = \frac{1}{2}BN \hfill \\ 
  BM = \frac{1}{2}BC \hfill \\  
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow MD = \frac{1}{2}NC \hfill \\  
\end{gathered}  \right\} \hfill \\  
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow KM = MD

Απο το σχήμα \displaystyle \angle{KMD} = {180^o} - {M_1} - {M_2} = {60^o}


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6724
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 14, 2018 1:55 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Μαρ 14, 2018 12:23 pm
Ομορφιές σε ισόπλευρο.png


Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a. Πάνω στις πλευρές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC έστω τα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα με , BD = CE = \dfrac{a}{3}.

Τα σημεία M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K είναι τα μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EA αντίστοιχα . Δείξετε ότι το τρίγωνο KDM είναι ισόπλευρο .

Κάθε λύση είναι δεκτή , έχει όμως λύση εντός φακέλου .
Προς το παρόν αγνοώ τα σημεία E, M.
Ομορφιές ισοπλεύρου.png
Ομορφιές ισοπλεύρου.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές
Από το D φέρνω κάθετη στην AB που τέμνει την BC στο E. Τότε θα είναι \displaystyle D\widehat EB = {30^0} \Leftrightarrow BE = \frac{{2a}}{3} \Leftrightarrow CE = \frac{a}{3},

οπότε το E είναι το ίδιο με το σημείο της εκφώνησης. Στο ορθογώνιο λοιπόν τρίγωνο ADE είναι DK=AK=KE.

Αν τώρα ο περίκυκλος του ADE επανατέμνει την BC στο M, τότε το ADME είναι εγγράψιμο, οπότε \displaystyle AM \bot BC και το

M θα είναι το μέσο της BC. Άρα, \displaystyle KM = KD = \frac{{AE}}{2},{\rm{ }}D\widehat KM = 2D\widehat EM = {60^0} και το ζητούμενο έπεται.


Η λύση μου μοιάζει πολύ με του Ορέστη. Την αφήνω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6724
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 14, 2018 5:21 pm

Αλλιώς.
Ομορφιές ισοπλεύρου.II.png
Ομορφιές ισοπλεύρου.II.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Έστω N μέσο του DA. To ANEC είναι ισοσκελές τραπέζιο και AE=NC. Από τη προηγούμενη ανάρτησή μου είναι

E\widehat DA=90^0. Άρα, \displaystyle KD = KM = \frac{{AE}}{2} = \frac{{NC}}{2} = DM και το ζητούμενο αποδείχτηκε.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μαρ 15, 2018 12:12 am

Χαιρετώ όλους ! Ελαφρά παραλλαγή
Ομορφιές ισοπλεύρου.PNG
Ομορφιές ισοπλεύρου.PNG (7.53 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Έστω N,I μέσα των  AB,BE . Τα τρίγωνα BIN,BDM είναι ίσα άρα DM=IN=AE/2

τα DKN,DIM επίσης ίσα συνεπώς DK=DM .

Στο ορθ. AME η διάμεσος MK=AE/2 . Τελικά το DKM είναι ισόπλευρο.
Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 15, 2018 10:31 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Μαρ 14, 2018 12:23 pm
Ομορφιές σε ισόπλευρο.png


Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a. Πάνω στις πλευρές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC έστω τα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα με , BD = CE = \dfrac{a}{3}.

Τα σημεία M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K είναι τα μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EA αντίστοιχα . Δείξετε ότι το τρίγωνο KDM είναι ισόπλευρο .

Κάθε λύση είναι δεκτή , έχει όμως λύση εντός φακέλου .

Με \displaystyle D' συμμετρικό του \displaystyle D ως προς \displaystyle K το \displaystyle ADED' είναι παραλ/μμο \displaystyle  \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {D'_1} και \displaystyle ED' = AD = \frac{{2a}}{3} = BE

Άρα \displaystyle BD' διχοτόμος –ύψος-διάμεσος του \displaystyle \vartriangle ABC και

\displaystyle \frac{{AH}}{{HM}} = \frac{{CE}}{{EM}} = 2 \Rightarrow EH//AC \Rightarrow EH \bot BD' \Rightarrow BH = HD' κι επειδή \displaystyle AH = HB

θα είναι \displaystyle \angle DAD' = {90^0} \Rightarrow DAD'E ορθογώνιο του οποίου ο

περίκυκλος προφανώς περνά από το \displaystyle M . Άρα \displaystyle \angle DKM = 2 \cdot {30^0} = {60^0} \Rightarrow \vartriangle DKM ισόπλευρο
ομορφιές ισόπλευρου.png
ομορφιές ισόπλευρου.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5746
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομορφιές ισοπλεύρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 16, 2018 12:10 pm

Ομορφιές σε ισόπλευρου.png
Ομορφιές σε ισόπλευρου.png (32.54 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Έστω N το μέσο της AC Θα είναι : KN// = \dfrac{{EC}}{2} = ML και άρα το τετράπλευρο

KMEN είναι παραλληλόγραμμο , οπότε MK// = EN\,\,\,(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \theta  = {\widehat \theta _1}\,\,(2) .

Επίσης τα τρίγωνα NEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MDB είναι ίσα ως έχοντα : \left\{ \begin{gathered} 
  EC = DB = \frac{a}{3} \hfill \\ 
  NC = MB = \frac{a}{2} \hfill \\ 
  \widehat C = \widehat B = 60^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Συνεπώς θα έχουν : NE = MD\,\,(3)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = {\widehat \omega _1}\,\,(4)

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) προκύπτει ότι το τρίγωνο MKD είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής: \widehat x = 180^\circ  - (\widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}}) = 180^\circ  - (\widehat \omega  + \widehat \theta ) = 60^\circ , δηλαδή ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης