Πλευρά και χορδή

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πλευρά και χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 09, 2018 7:53 pm

Πλευρά και χορδή.png
Πλευρά και χορδή.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές
Έστω AH το ύψος και BM η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου ABC. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BHM

θεωρώ σημείο D ώστε AD||BM (τα σημεία B, D εκατέρωθεν της ευθείας AC). Να δείξετε ότι BD=BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1448
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Πλευρά και χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μαρ 10, 2018 3:14 am

Kαλημέρα !
Άρση απόκρυψης και αιτιολόγηση. Με χρήση του σχήματος :
10-3-18 Πλευρά και Χορδή .PNG
10-3-18 Πλευρά και Χορδή .PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Είναι MH=MA=MC =p .Θεωρούμε το D ως τομή του α' κύκλου με τον κύκλο \left ( M,p \right ) και θα δείξουμε πρώτα ότι AD \parallel BM

Έστω E η τομή της HA με τον α' κύκλο , τότε \widehat{BME}=\widehat{BHE}=90^{0}. Τα τρίγωνα AME,MED έχουν τις

\widehat{EAM }, \widehat{EDM } αμβλείες ενώ ME κοινή , \widehat{AEM}=\widehat{MED} και AM=MD=p .Άρα (κριτήριο για τα αμβλυγώνια) είναι ίσα
συνεπώς και EA=ED . Η EM λοιπόν είναι μεσοκάθετος του AD ενώ EM \perp BM \Rightarrow AD \parallel BM

Η BM τέμνει την CD στο μέσον της I οπότε η BI είναι διχοτόμος και διάμεσος για το τρίγωνο BCD άρα BD=BC

Φιλικά Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Σάβ Μαρ 10, 2018 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πλευρά και χορδή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μαρ 10, 2018 11:06 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 7:53 pm
Πλευρά και χορδή.png
Έστω AH το ύψος και BM η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου ABC. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BHM

θεωρώ σημείο D ώστε AD||BM (τα σημεία B, D εκατέρωθεν της ευθείας AC). Να δείξετε ότι BD=BC.
Μια λύση εκτός φακέλου

\displaystyle MB//AF \Rightarrow B μέσον της \displaystyle FC και ο \displaystyle \left( {B,H,M} \right) είναι ο κύκλος Euler του \displaystyle \vartriangle AFC

Έτσι , \displaystyle E μέσον της \displaystyle AF και λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου \displaystyle DMBE \Rightarrow \boxed{DB = EM = BC}
pkx.png
pkx.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρά και χορδή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 10, 2018 11:46 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 7:53 pm
Πλευρά και χορδή.png
Έστω AH το ύψος και BM η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου ABC. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BHM

θεωρώ σημείο D ώστε AD||BM (τα σημεία B, D εκατέρωθεν της ευθείας AC). Να δείξετε ότι BD=BC.
Αγνοώ προσωρινά τον κύκλο .
Πλευρά και χορδή_ok.png
Πλευρά και χορδή_ok.png (26.36 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο BCMT . Αν η MT τέμνει την AB στο N θα

είναι : AN = NB το δε τετράπλευρο BHMT ισοσκελές τραπέζιο , άρα εγγεγραμμένο

στον κύκλο της εκφώνησης. Αφού AM = //TB το τετράπλευρο AMBT είναι παραλληλόγραμμο.

Συνεπώς η TA//BM. Το άλλο σημείο τομής της TA με τον κύκλο , έστω P,

μαζί με τα σημεία T,B,M ορίζουν ισοσκελές τραπέζιο άρα :

\boxed{BP = TM = BC}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης