Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τρί Δεκ 26, 2017 7:50 pm

Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3987
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 26, 2017 8:26 pm

kostasrmd έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 7:50 pm
Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).
Φαντάζομαι ότι αναφέρεσαι στα εμβαδά των τετραπλεύρων.

Απλή, θα έλεγα, ενδιαφέρουσα σχολική άσκηση, εφαρμογή βασικών ιδιοτήτων. Όμως δεν αφορά μόνο την ύλη της Α΄ Λυκείου, αλλά και της Β' (εμβαδά). Σχετίζεται με τις ενότητες: 5.6 και 10.5 της σχολικής γεωμετρίας.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Δεκ 26, 2017 8:28 pm

kostasrmd έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 7:50 pm
Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).
Από την ομοιότητα των τριγώνων {\rm A}{\rm E}\Theta και {\rm A}{\rm B}\Delta (\widehat {\rm A} κοινή και {\rm E}\Theta //{\rm B}\Delta ) με λόγο ομοιότητας \frac{1}{2} είναι \left( {{\rm A}{\rm E}\Theta } \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right).

Ομοίως \left( {\Gamma {\rm Z}{\rm H}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right), \left( {{\rm E}{\rm B}{\rm Z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) και \left( {\Theta \Delta {\rm H}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:

\left( {{\rm A}{\rm E}\Theta } \right) + \left( {\Gamma {\rm Z}{\rm H}} \right) + \left( {{\rm E}{\rm B}{\rm Z}} \right) + \left( {\Theta \Delta {\rm H}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) \Leftrightarrow

\left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)

Σημείωση: Την θεωρώ εύκολη και κλασσική για την Β' Λυκείου (εκεί έχουν τα εμβαδά).

Edit: Έδωσε ο Γιώργος απάντηση. Την αφήνω για την λύση...
Συνημμένα
Ημισυ.png
Ημισυ.png (33.83 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9643
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 26, 2017 8:40 pm

Για να θυμίσουμε το διεθνές όνομα του θεωρήματος , ας πάμε εδώ


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5677
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 26, 2017 8:52 pm

Και μια λύση ακόμη
Εμβαδον μεσοπλεύρου.png
Εμβαδον μεσοπλεύρου.png (24.63 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  (ABCD) = (ABD) + (CBD) = 2kd + 2ku = 2k(d + u) \hfill \\ 
  (EZHT) = k(d + u) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow (ABCD) = 2(EZHT)


Θα έλεγα βασική άσκηση .


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τετ Δεκ 27, 2017 10:58 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 8:26 pm
kostasrmd έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 7:50 pm
Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).
Φαντάζομαι ότι αναφέρεσαι στα εμβαδά των τετραπλεύρων.

Απλή, θα έλεγα, ενδιαφέρουσα σχολική άσκηση, εφαρμογή βασικών ιδιοτήτων. Όμως δεν αφορά μόνο την ύλη της Α΄ Λυκείου, αλλά και της Β' (εμβαδά). Σχετίζεται με τις ενότητες: 5.6 και 10.5 της σχολικής γεωμετρίας.
Καλησπέρα Γιώργο!.Ο λόγοι που δημοσίευσα αυτήν την άσκηση στην κατηγορία Α' Λυκείου ήταν ,πρώτον, επειδή το βιβλίο από όπου την πήρα(παλαιό βοήθημα Γεωμετρίας) την είχε στο κεφάλαιο με τα παραλληλογραμμα, δηλαδή πολύ πριν τα εμβαδά(τουλάχιστον από ότι θυμάμαι από το λύκειο), και, δεύτερον, επειδή για να λυθεί δεν χρειάζεται κάποιος τύπος εμβαδού σχήματος άλλα μόνο ισότητα τριγώνων. Παραθέτω την λύση του συγκεκριμενου βοηθήματος:
Προεκτείνω τις UH, EZ κατά ίσα τμήματα HU',ZE' οπότε το παραλληλογραμμο HU'E'Z είναι ίσο προς το αρχικό. Από την ισότητα των τριγώνων(UDH,HU'G), (EZB,ZGE') , (AEU,GE'U') προκύπτει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9643
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 27, 2017 11:22 am

Varignon.png
Varignon.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές
Η ωραιότατη λύση που παραθέτει ο θεματοδότης , με βάζει σε πειρασμό να προτείνω το εξής :

Έστω σημείο S στο εσωτερικό του τετραπλεύρου , έτσι ώστε το AKSN να είναι

παραλληλόγραμμο . Αν αποδειχθεί ότι και το CMSL είναι παραλληλόγραμμο τότε ,

λόγω και των ισοτήτων των μαύρων και των λευκών τριγώνων , τελειώσαμε !


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: Ίσον προς το ήμισυ Τετράπλευρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τετ Δεκ 27, 2017 2:19 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 27, 2017 11:22 am
Varignon.pngΗ ωραιότατη λύση που παραθέτει ο θεματοδότης , με βάζει σε πειρασμό να προτείνω το εξής :

Έστω σημείο S στο εσωτερικό του τετραπλεύρου , έτσι ώστε το AKSN να είναι

παραλληλόγραμμο . Αν αποδειχθεί ότι και το CMSL είναι παραλληλόγραμμο τότε ,

λόγω και των ισοτήτων των μαύρων και των λευκών τριγώνων , τελειώσαμε !
Έχουμε ότι KS=AN=ND(1), KL=NM(2) λόγω των παραλληλογραμμων ANKS, ABCD αντίστοιχα. Προεκτεινουμε την KN όποτε σχηματίζεται η \angle MNx=LKN.Έχουμε διαδοχικά ότι \angle MNx=LKN=>\angle LKS+\angle SKN=\angle MND+\angle DNx.(3).Επειδή \angle DNx=\angle SKN από την (3) προκύπτει ότι \angle LKS=\angle MND και ,λογω των (1),(2) ,τα τρίγωνα KLS,MND είναι ίσα. Ομοίως εργαζόμενοι αποδεικνυουμε και την ισότητα των KBL,NSM.Εκ των δυο ισοτήτων τρίγωνων συνάγουμε ότι το τετράπλευρο SLCM έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, συνεπώς είναι παραλληλογραμμο, άρα και τα τρίγωνα  LCM,LSM είναι ίσα το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.
Σωστο ή εχω καπου λαθος; Σημειωνω οτι εχω τελειωσει το λυκειο εδω και μερικα χρονια απλως ασχολουμαι στον ελευθερο χρονο μου με τα Μαθηματικα, οποτε τυχον λαθη ή απροσεξιες ζητω να γινουν κατανοητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης