Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Πέμ Δεκ 14, 2017 2:53 pm

Έστω δυο εξωτερικώς εφαπτόμενοι άνισοι κύκλοι κέντρων K,K'.Επιλέγουμε σημεία A,A' και B,B' στους κύκλους K,K' αντίστοιχα ώστε AB και A'B' να είναι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενές. Να δειχθεί α)Ότι το τετράπλευρο ABB'A' είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο β)Να δειχθεί το αντίστροφο.
Γνώμη για την άσκηση;

Συγνώμη που δεν παραθέτω σχήμα,αντιμετώπισα κάποιες δυσκολίες στο να το κάνω ακριβώς όπως το ζητά η εκφώνηση και δεν θα ήταν ακριβές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6663
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 14, 2017 5:01 pm

kostasrmd έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 2:53 pm
Έστω δυο εξωτερικώς εφαπτόμενοι άνισοι κύκλοι κέντρων K,K'.Επιλέγουμε σημεία A,A' και B,B' στους κύκλους K,K' αντίστοιχα ώστε AB και A'B' να είναι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενές. Να δειχθεί α)Ότι το τετράπλευρο ABB'A' είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο β)Να δειχθεί το αντίστροφο.
Γνώμη για την άσκηση;

Συγνώμη που δεν παραθέτω σχήμα,αντιμετώπισα κάποιες δυσκολίες στο να το κάνω ακριβώς όπως το ζητά η εκφώνηση και δεν θα ήταν ακριβές.
Για το α) ερώτημα προς το παρόν.
Αμφιγράψιμο.Κ.png
Αμφιγράψιμο.Κ.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
α) Έστω P το σημείο επαφής των δύο κύκλων και M, N τα σημεία τομής των AA', BB' αντίστοιχα με την κοινή

εσωτερική εφαπτομένη. To ABB'A' είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα εγγράψιμο σε κύκλο.

\displaystyle AM = MP = MA',BN = NP = NB' \Rightarrow MN = \frac{{AA' + BB'}}{2}. Αλλά η MN είναι διάμεσος του τραπεζίου

ABB'A', οπότε \displaystyle MN = \frac{{AB + A'B'}}{2}, που αποδεικνύει ότι το ABB'A' είναι και περιγράψιμο.


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Πέμ Δεκ 14, 2017 5:49 pm

Ερώτηση :Για να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο δεν θα έπρεπε να προεκταθουν οι εξωτερικές εφαπτόμενες έως ότου τμηθουν έστω στο Z και έπειτα λόγω των ισοτήτων ZB=ZA,ZB'=ZA' να καταλήξουμε στο ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο;Εκτός και αν παραλήφθηκε χάριν συντομίας;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6663
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 14, 2017 6:06 pm

kostasrmd έγραψε:
Πέμ Δεκ 14, 2017 5:49 pm
Ερώτηση :Για να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο δεν θα έπρεπε να προεκταθουν οι εξωτερικές εφαπτόμενες έως ότου τμηθουν έστω στο Z και έπειτα λόγω των ισοτήτων ZB=ZA,ZB'=ZA' να καταλήξουμε στο ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο;Εκτός και αν παραλήφθηκε χάριν συντομίας;
Γίνεται αυτό που λες, υπάρχει όμως και το άλλο. Τα τρίγωνα AKB, A'K'B' είναι ισοσκελή και AK||A'K' (κάθετες στην ίδια ευθεία), ομοίως και KB||K'B', οπότε και AB||A'B' (αφού έχουν τον ίδιο προσανατολισμό).Το παρέλειψα γιατί νομίζω ότι θεωρείται γνωστό.

Μπορούμε ακόμα να πούμε ότι η KK' είναι μεσοκάθετος των AB, A'B'.


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: Εγγραψιμότητα και Περιγραψιμότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Πέμ Δεκ 14, 2017 6:29 pm

Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Ας σημειώσω ότι έχω κάποια χρόνια που αποφοίτησα από το λύκειο και επειδή μου άρεσε η Γεωμετρία ανά περιόδους ασχολούμαι όσο μπορώ και μερικά πράγματα ίσως δεν τα παρατηρώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης