Πλευρά ρόμβου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Eustathia p.
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Ιαν 06, 2016 5:05 pm

Πλευρά ρόμβου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eustathia p. » Τρί Δεκ 12, 2017 11:50 pm

πλευρά ρόμβου.png
πλευρά ρόμβου.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Σε ρόμβο ABCD θεωρούμε σημείο K της AC και φέρνουμε τις αποστάσεις KE και KZ από τις CD και DA.

Αν DZ = 5\,,\,DE = 2 και \widehat {ZKA} = \widehat {ZKE} , να υπολογιστεί η πλευρά x του ρόμβου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6643
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρά ρόμβου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 13, 2017 12:26 pm

Eustathia p. έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 11:50 pm
πλευρά ρόμβου.png

Σε ρόμβο ABCD θεωρούμε σημείο K της AC και φέρνουμε τις αποστάσεις KE και KZ από τις CD και DA.

Αν DZ = 5\,,\,DE = 2 και \widehat {ZKA} = \widehat {ZKE} , να υπολογιστεί η πλευρά x του ρόμβου .
Πλευρά ρόμβου.png
Πλευρά ρόμβου.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Έστω H η προβολή του K στην AB και P το σημείο τομής των CD, HZ. Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν

τις γωνίες του, θα είναι AH=AZ και από το εγγράψιμο AZKH έχουμε AH=HZ άρα το AHZ είναι ισόπλευρο,

ομοίως και το ZDP. Οπότε PD=5 και PE=7. Το PEH είναι ορθογώνιο, E\widehat HP=30^0, άρα

\displaystyle PH = 2PE = 14 \Leftrightarrow PZ + ZH = 14 \Leftrightarrow DZ + ZA = 14 \Leftrightarrow \boxed{DA=AB=14}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3087
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Πλευρά ρόμβου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Δεκ 13, 2017 4:24 pm

Eustathia p. έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 11:50 pm


Σε ρόμβο ABCD θεωρούμε σημείο K της AC και φέρνουμε τις αποστάσεις KE και KZ από τις CD και DA.

Αν DZ = 5\,,\,DE = 2 και \widehat {ZKA} = \widehat {ZKE} , να υπολογιστεί η πλευρά x του ρόμβου .
Καλησπέρα!
Πλευρά-ρόμβου.png
Πλευρά-ρόμβου.png (26.73 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Η προέκταση της EK τέμνει τις AB,AD στα L,M αντίστοιχα.

Το  \triangleleft KAM είναι ισοσκελές, τα  \triangleleft KAZ, \triangleleft KAL ίσα και τα  \triangleleft MED, \triangleleft MLA όμοια.

Θέτοντας MD = x προκύπτει MA = 2AL, άρα \widehat M = {30^ \circ },\,x = 4 και AD = 10 + x = 14


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1340
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πλευρά ρόμβου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 13, 2017 11:21 pm

Eustathia p. έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 11:50 pm
πλευρά ρόμβου.png

Σε ρόμβο ABCD θεωρούμε σημείο K της AC και φέρνουμε τις αποστάσεις KE και KZ από τις CD και DA.

Αν DZ = 5\,,\,DE = 2 και \widehat {ZKA} = \widehat {ZKE} , να υπολογιστεί η πλευρά x του ρόμβου .

Λόγω της ισότητας των κόκκινων γωνιών, το \displaystyle \vartriangle DAB είναι ισόπλευρο. Έστω \displaystyle AD \cap KE = I,ZK \cap AB = Q.

Επειδή \displaystyle K ορθόκεντρο του \displaystyle \vartriangle IAQ \Rightarrow AC \bot IQ \Rightarrow IQ//DB \Rightarrow \vartriangle IAQ ισόπλευρο.Άρα \displaystyle ID = DL = 4

\displaystyle IZ = ZA \Rightarrow 5 + 4 = x - 5 \Rightarrow \boxed{x = 14}
πλευρά ρόμβου.png
πλευρά ρόμβου.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές


makman94
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 14, 2011 11:36 am

Re: Πλευρά ρόμβου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makman94 » Κυρ Δεκ 17, 2017 6:46 pm

Εικόνα

Το τετράπλευρο FDGE είναι εγγράψιμο,άρα \measuredangle tDF=\measuredangle GEF=a

\measuredangle tDF=\measuredangle DAB (CD\parallel AB) και

\measuredangle DAE=\measuredangle EAB=\measuredangle DCA=\measuredangle ACB=\frac{a}{2}(AC διχοτόμος)

Από \triangleleft AFE έχουμε:
\frac{\pi }{2}+\frac{a}{2}+a=\pi \Leftrightarrow a=60^{\circ}

Θέτουμε AF=x και CG=y
x+5=y+2\Leftrightarrow y=x+3

Από νόμο ημιτόνων στο \triangleleft AFE έχουμε:AE=\frac{2\sqrt{3}}{3}*x (1)

Από νόμο ημιτόνων στο \triangleleft CGE έχουμε:EC=\frac{2\sqrt{3}}{3}*y\Leftrightarrow EC=\frac{2\sqrt{3}}{3}*(x+3) (2)

Με την βοήθεια των (1) και (2) έχουμε:AC=AE+EC=\frac{4\sqrt{3}}{3}*x+2\sqrt{3}

Τέλος,από νόμο ημιτόνων στο \triangleleft DAC έχουμε:
\frac{AC}{sin(120^{\circ})}=\frac{AD}{sin(30^{\circ})}\Leftrightarrow \frac{1}{2}*(\frac{4\sqrt{3}}{3}*x+2\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}*(x+5)\Leftrightarrow x=9


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης