Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Παρ Νοέμ 10, 2017 1:01 am

Καλησπέρα στην παρέα του :logo: μετά από πολύ καιρό.

Προσπαθώντας να λύσω κάποιο πρόβλημα, κατέληξα στο εξής γεωμετρικό θέμα:

Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD. Τότε για τουλάχιστον μια από τις διαγωνίους θα πρέπει να ισχύει το εξής: αν ένας κύκλος περιέχει στο εσωτερικό του τις κορυφές της διαγωνίου, τότε αναγκαστικά θα περιέχει και μια από τις άλλες δυο κορυφές.

Είμαι σχετικά σίγουρος ότι ισχύει αυτή η πρόταση, αλλά δεν την βρήκα κάπου γραμμένη, οπότε το θέτω ως ανοιχτό θέμα, να εξεταστεί δηλαδή αν ισχύει ή όχι το παραπάνω. Ενδεχομένως να είναι τελείως τετριμμένο, αλλά έχω πολλά χρόνια να ασχοληθώ με την ευκλείδεια γεωμετρία, οπότε λίγο που το προσπάθησα δεν κατάφερα κάτι.

Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων και χαιρετισμούς σε όλη την ομάδα!

υγ: πιθανότατα να μην έχω τοποθετήσει το θέμα σε κατάλληλο φάκελο, ο τίτλος να είναι ακατάλληλος κτλ. Οπότε σας παρακαλώ να το επεξεργαστείτε καταλλήλως.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Νοέμ 11, 2017 10:46 pm

Γεια σου Αντώνη, και χαιρετίσματα στην αγαπημένη Νέα Υόρκη (πόλη και πολιτεία) και εν γένει USA!

Αυτό που προτείνεις είναι αληθές: αν ο κύκλος που διέρχεται από τρεις κορυφές του τετραπλεύρου δεν περιέχει την τέταρτη κορυφή στο εσωτερικό του, τότε το άθροισμα των γωνιών που αντιστοιχούν στην τέταρτη κορυφή και στην κορυφή που δεν κείται επί της εντός του κύκλου διαγωνίου είναι μικρότερο των δύο ορθών^ επαναλαμβάνοντας τον συλλογισμό για την άλλη διαγώνιο και τις αντίστοιχες κορυφές, και υποθέτοντας και πάλι ότι δεν περιέχεται η 'νέα' τέταρτη κορυφή στο εσωτερικό του 'νέου' κύκλου, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών είναι επίσης μικρότερο των δύο ορθών, άτοπο.

Ο ίδιος συλλογισμός αποδεικνύει ότι η πρόταση σου ισχύει για την μεγαλύτερη από τις δύο διαγωνίους του τετραπλεύρου, καθώς 'απέναντι' αυτής βρίσκονται οι γωνίες με το μεγαλύτερο άθροισμα. (Γνωστό πρέπει να είναι αυτό, αλλά δεν θυμάμαι/βλέπω πως προκύπτει...)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Κυρ Νοέμ 12, 2017 5:47 am

Καλησπέρα κύριε Γιώργο και ευχαριστώ για τους χαιρετισμούς!

Όσον αφορά την απόδειξη, η άρνηση της πρότασης που αναφέρω είναι για κάθε διαγώνιο να μπορούμε να βρούμε κύκλο που να την περιέχει και να μην περιέχει καμία από τις δυο άλλες κορυφές. Για να είμαι ειλικρινής, δεν μπορώ να δω πως αυτό συνδέεται με το επιχείρημα σας το οποίο θεωρεί τον κύκλο που περνά από τις τρεις κορυφές και αφήνει την άλλη εκτός.

Επίσης, για την μεγάλη διαγώνιο νομίζω δεν ισχύει το αποτέλεσμα. Επισυνάπτω ένα σχήμα.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 12, 2017 11:56 am

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
Κυρ Νοέμ 12, 2017 5:47 am
Καλησπέρα κύριε Γιώργο και ευχαριστώ για τους χαιρετισμούς!

Όσον αφορά την απόδειξη, η άρνηση της πρότασης που αναφέρω είναι για κάθε διαγώνιο να μπορούμε να βρούμε κύκλο που να την περιέχει και να μην περιέχει καμία από τις δυο άλλες κορυφές. Για να είμαι ειλικρινής, δεν μπορώ να δω πως αυτό συνδέεται με το επιχείρημα σας το οποίο θεωρεί τον κύκλο που περνά από τις τρεις κορυφές και αφήνει την άλλη εκτός.

Επίσης, για την μεγάλη διαγώνιο νομίζω δεν ισχύει το αποτέλεσμα. Επισυνάπτω ένα σχήμα.
Αντώνη σωστά όσον αφορά την μεγάλη διαγώνιο, την αρχική σου πρόταση την αντιμετώπισα ως εξής: θεωρώ όλους τους κύκλους που διέρχονται από τα άκρα της διαγωνίου AC, υπάρχουν πολλοί 'μεγάλης ακτίνας' κύκλοι που θα περιέχουν στο εσωτερικό τους είτε την B είτε την D (με κέντρα αντιστοίχως εκατέρωθεν της AC), επιλέγω αυτόν με την ελάχιστη δυνατή ακτίνα, που διέρχεται δηλαδή είτε από την B είτε από την D, και, υποθέτοντας ότι δεν περιέχει την άλλη κορυφή, εργάζομαι αναλόγως με την διαγώνιο BD και καταλήγω στο επιθυμητό συμπέρασμα^ να το πω αλλιώς, μόλις ο μεταβαλλόμενος κύκλος αρχίσει να μην περιέχει την μία κορυφή θα πρέπει ήδη να περιέχει την άλλη, αλλιώς έχουμε άθροισμα αντίστοιχων γωνιών μικρότερο των δύο ορθών, οπότε καταφεύγουμε στην άλλη διαγώνιο, κλπ (Βεβαίως έχω σιωπηρά αντικαταστήσει το "εσωτερικό του κύκλου" με το "εσωτερικό ή επί της περιφερείας του κύκλου", υποθέτοντας ότι αυξάνοντας ελάχιστα τον κύκλο έχω αυτό ακριβώς που ζήτησες. Εδώ ελέγχομαι, καθώς κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει στο τετράγωνο!)]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Κυρ Νοέμ 12, 2017 7:56 pm

Ωραία, σας ευχαριστώ πολύ!


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5604
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αν περιέχει την διαγώνιο, θα περίεχει κι άλλη μια κορυφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Νοέμ 12, 2017 8:57 pm

Απλά παραθέτω ένα σχήμα.
αζχδφωβ.png
αζχδφωβ.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης