Εφαπτόμενοι κύκλοι 1.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Εφαπτόμενοι κύκλοι 1.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Σεπ 15, 2017 9:52 pm

2.png
2.png (17.02 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές
Δίνονται οι κύκλοι C_{1}, C_{2} οι οποίοι εφάπτονται εσωτερικά στο A και η
κοινή τους εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Από σημείο B της εφαπτομένης αυτής
φέρνω εφαπτομένες προς τους C_{1}, C_{2} και ονομάζω \Gamma και \Delta τα σημεία
επαφής αντίστοιχα. Η A\Gamma και η \Delta \Gamma τέμνουν τον C_{2} στα E, Z αντιστοίχως.
Δείξτε ότι τα E, Z είναι διαμετρικά σημεία του C_{2} και ότι B\Gamma \perp EZ.



Λέξεις Κλειδιά:
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι 1.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 17, 2017 6:26 pm

Υπόδειξη.
Αρκεί να δείξετε ότι \angle ZAE=90^{0} ή \angle Z\Delta E=90^{0}.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4105
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι 1.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Σεπ 18, 2017 12:31 am

[quote="Φανης Θεοφανιδης"
Δίνονται οι κύκλοι K_{1}, K_{2} οι οποίοι εφάπτονται εσωτερικά στο A και η κοινή τους εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Από σημείο B της εφαπτομένης αυτής φέρνω εφαπτομένες προς τους K_{1}, K_{2} και ονομάζω C και D τα σημεία επαφής αντίστοιχα. Η AC και η DC τέμνουν τον K_{2} στα E, Z αντιστοίχως.Δείξτε ότι τα E, Z είναι διαμετρικά σημεία του K_{2} και ότι BC\perp EZ.
[/quote]

1ος τρόπος (εντός φακέλου)
εφαπτόμενοι κύκλοι 1.png
εφαπτόμενοι κύκλοι 1.png (36.93 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Είναι BD\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \iota \kappa \alpha \;\tau \mu \eta \mu \alpha \tau \alpha \;\tau o\upsilon \;\left( {{K_2}} \right)} BA\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \iota \kappa \alpha \;\tau \mu \eta \mu \alpha \tau \alpha \;\tau o\upsilon \;\left( {{K_1}} \right)} BC και συνεπώς ο κύκλος με κέντρο B και ακτίνα BA

διέρχεται από τα C,D \Rightarrow \angle ADC\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta  - \varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta } \dfrac{{\angle ABC}}{2} \mathop  = \limits^{BA = BC} {90^0} - \angle CAB = {90^0} - \angle EAB

\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\;\chi o\rho \delta \eta \varsigma \;\kappa \alpha \iota \;\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma  - \alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \;\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } {90^0} - \angle AZE \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle ADC \equiv \angle ADZ = \angle AEZ\left( {\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \;\sigma \tau o\;\tau o\xi o\;AZ\;\tau o\upsilon \;\left( {{K_2}} \right)} \right)}

\angle AEZ = {90^0} - \angle AZE \Rightarrow \angle EAZ = {90^0}:\left( 1 \right) . Επίσης ανF \equiv BC \cap ZE τότε από

\angle BCA\mathop  = \limits^{BC = BA} \angle BAC \mathop  = \limits^{\angle BAC \equiv \angle BAE\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\;\chi o\rho \delta \eta \varsigma \;\kappa \alpha \iota \;\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...} \angle AZE \equiv \angle AZF} \angle AZF \Rightarrow ACFZ εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε

\angle CFZ = {180^0} - \angle CAZ = {180^0} - \angle EAZ\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \angle CFZ = {90^0} \Rightarrow BC \bot ZE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


2ος τρόπος (μετρικά εκτός φακέλου)
εφαπτόμενοι κύκλοι 1.(2).png
εφαπτόμενοι κύκλοι 1.(2).png (27.44 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Με BD=BA=BC (εφαπτόμενα τμήματα στους δύο κύκλους) θα είναι CA=2CM,CD=2CN:\left( 1 \right) όπου M,N

οι ορθές προβολές του B στις AC,CD αντίστοιχα (ύψη ισοσκελώς στις «βάσεις» τους άρα και διάμεσοι).

Από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων \vartriangle ACD,\vartriangle ZCE θα είναι \dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{{CZ}}{{CE}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CZ}}{{CE}}:\left( 2 \right).

Από την \left( 2 \right) σύμφωνα με το Stathis Koutras’ Theorem θα είναι BC \bot ZE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης