Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 15.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Στο παραπάνω σχήμα αποδείξτε ότι το τρίγωνο $K\Lambda M$ είναι ισόπλευρο.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:15.png

Στο παραπάνω σχήμα αποδείξτε ότι το τρίγωνο $K\Lambda M$ είναι ισόπλευρο.

$\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm M}\Lambda = {\rm A}\widehat {\rm M}{\rm Z} = \theta + {\rm M}\widehat {\rm A}{\rm B} = {\rm B}\widehat {\rm A}{\rm Z} = {60^0}}$ (Ομοίως και οι άλλες γωνίες)

: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

ΥΓ Θεώρησα ότι το αρχικό $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο που δεν αναφέρεται όμως στην εκφώνηση. Άρα απαιτεί επανεξέταση.

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι το $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο. Πράγματι,

$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma \Leftrightarrow \Delta \widehat \Gamma {\rm A} = {\rm E}\widehat {\rm A}{\rm B} = \varphi }.$ Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm E},{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}$ είναι ίσα διότι έχουν μία γωνία ίση με $\displaystyle{\theta }$ , μία γωνία ίση με $\displaystyle{\varphi + \theta }$

και μία πλευρά ίση με $\displaystyle{\alpha }.$ Άρα $A\Gamma=AB$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

Ελάχιστα διαφορετικά από το Γιώργο

Οι γωνίες στη βάση του ισοσκελούς $\vartriangle BAC$ είναι ίσες άρα και $\widehat \xi = \widehat {EAB}$ .

Οι $\displaystyle{\widehat {{\phi _1}}\,\,,\,\,\widehat {{\phi _2}}}$ είναι εξωτερικές στα τρίγωνα $\vartriangle BZC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BAE$ και έτσι :

$\boxed{\widehat {{\phi _1}} = \widehat \omega + \widehat \theta + \widehat \xi = \widehat {{\phi _2}}}$ . Τώρα έχω ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle AEC = \vartriangle BZA\,\,\,(1) \hfill \\ \vartriangle LEC = \vartriangle MZA\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ( $\Gamma - \Pi - \Gamma$ ) .

: ισόπλευρο τρίγωνο 12.png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Από την πρώτη ισότητα έχω AC = BA

δηλαδή το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο

και άρα $\boxed{\widehat \theta + \widehat \xi = \widehat \theta + \widehat \omega = 60^\circ }$ . Από τη δεύτερη $\widehat {ELC} = \widehat \theta + \widehat \xi = 60^\circ$ ως εξωτερική

στο $\vartriangle LAC$ , επί πλέον δε $\widehat {AMZ} = \widehat \theta + \widehat \xi = 60^\circ$ ως εξωτερική στο $\vartriangle AMB$ .

Αφού τώρα στο τρίγωνο $\vartriangle KLM$ οι γωνίες του στα $M,\,L$ είναι από $60^\circ$ αυτό είναι

ισόπλευρο .

Φανης Θεοφανιδης · #4

Στο σχήμα του Νίκου.
Εφόσον αποδείχθηκε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο
τα τετράπλευρα DKZA

και

είναι εγγράψιμα.
Συνεπώς $\angle K=\angle A=60^{0}$ και $\angle M=\angle C=60^{0}$ .

Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Μέλη σε σύνδεση