Τετράπλευρο 12.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 12.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Αύγ 11, 2017 8:33 pm

7.png
7.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές
Για το τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι AB=\Gamma \Delta .
Υπολογίστε την γωνία \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 12.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 8:51 pm

Έστω K το περίκεντρο του \vartriangle DAC και P \equiv BA \cap CK.

Είναι \widehat{AKP}=180^\circ-\widehat{AKC}=180^\circ-2\widehat{ADC}=180^\circ-140^\circ=40^\circ, οπότε \widehat{AKP}=40^\circ (1).

Επίσης, \widehat{CAK}=20^\circ \Rightarrow \widehat{BAK}=120^\circ+20^\circ=140^\circ \Rightarrow \widehat{KAP}=40^\circ (2).

Από (1), (2), \widehat{AKP}=\widehat{KAP} \Rightarrow PA=PK (3).

Επίσης, \widehat{CKD}=2\widehat{CAD}=60^\circ και KC=KD, οπότε KD=KC=CD=AB \Rightarrow KC=AB (4).

Από (3), (4) , και το αντίστροφο Θ. Θαλή AK \parallel BC  \Rightarrow 20^\circ+\theta+140^\circ=180^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=20^\circ}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 12.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 9:46 pm

Έστω K το συμμετρικό του A ως προς την BD και E \equiv AK \cap BD.

Είναι BE \perp AK, AE=EK \Rightarrow \widehat{BAK}=\widehat{BKA}=70^\circ (1).

Επίσης, \widehat{KAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAK}=120^\circ-70^\circ=50^\circ, και αφού \widehat{CAD}=30^\circ, \widehat{KAD}=80^\circ (2).

Επίσης, DK=DA (ανήκει στην μεσοκάθετο του AK) και επομένως από (2), \widehat{AKD}=80^\circ=\widehat{ACD} \Rightarrow A,K,C,D ομοκυκλικά.

Οπότε, \widehat{CKD}=\widehat{CAD}=30^\circ \Rightarrow \widehat{CKD}=30^\circ (3).

Από (2), (3) είναι \widehat{BKC}=\widehat{BKA}+\widehat{AKD}+\widehat{DKC}=180^\circ \Rightarrow B,K,C συνευθειακά και άρα \widehat{DBK}=\widehat{DBC}=\theta (4).

Όμως, \widehat{DBK}=\widehat{ABD}=20^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=20^\circ}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3314
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο 12.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Αύγ 11, 2017 10:08 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Για το τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι AB=\Gamma \Delta .
Υπολογίστε την γωνία \theta .
Τετράπλευρο-12.jpg
Τετράπλευρο-12.jpg (31.61 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές
Αν {\rm B}' το συμμετρικό του {\rm B} ως προς {\rm A}\Delta, τότε σχηματίζονται το ισόπλευρο \triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm B}', τα ίσα ισοσκελή \triangleleft \Delta {\rm B}{\rm B}', \triangleleft {\rm B}'\Gamma \Delta ({20^ \circ }{,80^ \circ }{,80^ \circ }) και από το εγγράψιμο {\rm B}\Gamma \Delta {\rm B}' έχουμε \theta  = \Delta \widehat {{\rm B}'}\Gamma  = {20^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7839
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο 12.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:07 am

τετράπλευρο 12.png
τετράπλευρο 12.png (40.16 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Επειδή \widehat \phi  = 10^\circ , ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ADC θα έχει επίκεντρη γωνία

\widehat {DKC} = 60^\circ , Με K πάνω στην BD το δε τρίγωνο DKC θα είναι ισόπλευρο , οπότε

\widehat y = 20^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat x = \widehat y = 20^\circ } . Το τετράπλευρο ABCK είναι εγγράψιμο κι αφού

KA = KC η ευθεία BD είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat {ABC} οπότε : \boxed{\widehat \theta  = 20^\circ }.

Παρατήρηση :

Το τετράπλευρο κατασκευάζεται και χωρίς την πληροφορία ότι \boxed{\widehat x = 20^\circ } .

Θα μπορούσε να δοθεί η γωνία των 20° αλλά όχι η ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων .



Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο 12.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Αύγ 12, 2017 5:42 pm

7.png
7.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
Καλησπέρα.

Φέρνω το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma P, ίσο και παράλληλο με το AB.
Επίσης φέρνω τα τμήματα \Delta P, BP.
Από το παραλληλόγραμμο ABP\Gamma, το ισοσκελές τρίγωνο P\Gamma \Delta και την υπόθεση
προκύπτουν εύκολα όλες οι κόκκινες γωνίες.
Το τετράπλευρο BP\Gamma \Delta είναι εγγράψιμο (αφού \angle BP\Gamma +\angle \Gamma \Delta B=180^{0}).
Συνεπώς \theta =\angle \Delta P\Gamma \Rightarrow \theta =20^{0}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης