Κύκλος 22.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 33.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Δίνεται κύκλος (O,R)

, διάμετρος

αυτού, δύο ακτίνες $O\Gamma , O\Delta$ κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες
βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της

, οι προβολές

και

των $\Gamma$ και $\Delta$
αντίστοιχα επί της

, και τα κέντρα

και $\Lambda$ των κύκλων των εγγεγραμμένων
στα τρίγωνα $O\Gamma E$ και $O\Delta Z$ .
Δείξτε ότι:
$1) K\Lambda \parallel AB$ .
$2) K\Lambda =R$ .

Η ευθεία που συνδέει τα μέσα M, N

των $K\Lambda , \Gamma \Delta$ αντίστοιχα είναι κάθετη στην

.
$4) NM=\dfrac{R}{2}$ .
$5) KN\perp \Lambda N$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:33.png

Δίνεται κύκλος , διάμετρος αυτού, δύο ακτίνες $O\Gamma , O\Delta$ κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες
βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της , οι προβολές και των $\Gamma$ και $\Delta$
αντίστοιχα επί της , και τα κέντρα και $\Lambda$ των κύκλων των εγγεγραμμένων
στα τρίγωνα $O\Gamma E$ και $O\Delta Z$ .
Δείξτε ότι:
$1) K\Lambda \parallel AB$ .
$2) K\Lambda =R$ .
Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των $K\Lambda , \Gamma \Delta$ αντίστοιχα είναι κάθετη στην .
$4) NM=\dfrac{R}{2}$ .
$5) KN\perp \Lambda N$ .

Καλησπέρα Φάνη!

: Κύκλος 22.png (21.39 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

1) Τα ορθογώνια τρίγωνα OCE, ODZ

είναι ίσα ( OC=OD=R

και οι αντίστοιχες οξείες γωνίες έχουν τις

πλευρές τους κάθετες), άρα τα τρίγωνα έχουν ίσους εγγεγραμμένους κύκλους, KP||=LQ=r,

οπότε $\boxed{KL||AB}$

2) Τα τρίγωνα BOL, DOL

είναι προφανώς ίσα (Π-Γ-Π), άρα $\displaystyle{L\widehat BO = L\widehat DO = \frac{{Z\widehat DO}}{2} = \frac{{C\widehat OE}}{2} = K\widehat OP \Leftrightarrow }$

OK||BL,

το

είναι παραλληλόγραμμο και $\boxed{KL=OB=R}$

5) $\displaystyle{ON \bot CD}$ οπότε τα OECN, OBDN

είναι εγγράψιμα, $\displaystyle{O\widehat EN = {45^0} = O\widehat ZN},$ τα σημεία E, K, N

είναι

συνευθειακά, καθώς επίσης και τα Z, L, N,

άρα $\boxed{K\widehat NL=90^0}$

3), 4) Από τα προηγούμενα το NKL

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή $\boxed{NM\bot KL}$ και $\boxed{NM=\frac{KL}{2}=\frac{R}{2}}$

Κύκλος 22.

Κύκλος 22.

Re: Κύκλος 22.

Μέλη σε σύνδεση