Τετράπλευρο 9.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 200.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ τέτοιο ώστε $AB=B\Delta$ και
$\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta$ . Δείξτε ότι το τρίγωνο $AB \Gamma$ είναι ισοσκελές.

mikemoke · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:200.png

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ τέτοιο ώστε $AB=B\Delta$ και
$\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta$ . Δείξτε ότι το τρίγωνο $AB \Gamma$ είναι ισοσκελές.

$\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta$ Άρα

κέντρο περιγεγραμένου κύκλου ACD

αφού

σημείο της μεσοκαθέτου του

Ορέστης Λιγνός · #3

Ας το δούμε και αλλιώς:

Έστω ότι ο κύκλος (A,B,D)

τέμνει την

στο

.

Έστω ακόμη $\widehat{ACD}=\phi, \widehat{ABD}=2\phi, \widehat{BAD}=\widehat{BDA}=90^\circ-\phi$ .

Το ABED

είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{BEA}=\widehat{BDA}=90^\circ-\phi, \widehat{AED}=\widehat{ABD}=2\phi$ .

Η γωνία $\widehat{AED}=2\phi$ είναι εξωτερική στο τρίγωνο CED

, και $\widehat{ECD}=\phi$ , άρα ED=EC

(1).

Είναι $\widehat{BED}=180^\circ-\widehat{BAD}=180^\circ-(90^\circ-\phi)=90^\circ+\phi$ , και $\widehat{BEC}=180^\circ-\widehat{BEA}=180^\circ-\widehat{90^\circ-\phi}=90^\circ+\phi$ , οπότε $\widehat{BED}=\widehat{BEC}$ (2).

Από (1), (2) τα τρίγωνα $\vartriangle BED, \vartriangle BEC$ είναι ίσα, οπότε $\widehat{BDE}=\widehat{ACB}$ (3).

Όμως, από το εγγράψιμο ABED

, $\widehat{BAC}=\widehat{BDE}$ (4).

Από (3), (4) , $\widehat{BAC}=\widehat{BCA} \Rightarrow BA=BC$ .

Τετράπλευρο 9.

Τετράπλευρο 9.

Re: Τετράπλευρο 9.

Re: Τετράπλευρο 9.

Μέλη σε σύνδεση