Τετράπλευρο 9.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 9.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Μάιος 26, 2017 6:26 pm

200.png
200.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο AB\Gamma \Delta τέτοιο ώστε AB=B\Delta και
\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta. Δείξτε ότι το τρίγωνο AB \Gamma είναι ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τετράπλευρο 9.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Μάιος 26, 2017 6:39 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:200.png

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο AB\Gamma \Delta τέτοιο ώστε AB=B\Delta και
\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta. Δείξτε ότι το τρίγωνο AB \Gamma είναι ισοσκελές.
\angle AB\Delta =2\angle A\Gamma \Delta Άρα B κέντρο περιγεγραμένου κύκλου ACD αφού B σημείο της μεσοκαθέτου τουAD


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 9.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Μάιος 26, 2017 7:11 pm

Ας το δούμε και αλλιώς:

Έστω ότι ο κύκλος (A,B,D) τέμνει την AC στο E.

Έστω ακόμη \widehat{ACD}=\phi, \widehat{ABD}=2\phi, \widehat{BAD}=\widehat{BDA}=90^\circ-\phi.

Το ABED είναι εγγράψιμο, άρα \widehat{BEA}=\widehat{BDA}=90^\circ-\phi, \widehat{AED}=\widehat{ABD}=2\phi.

Η γωνία \widehat{AED}=2\phi είναι εξωτερική στο τρίγωνο CED, και \widehat{ECD}=\phi, άρα ED=EC (1).

Είναι \widehat{BED}=180^\circ-\widehat{BAD}=180^\circ-(90^\circ-\phi)=90^\circ+\phi, και \widehat{BEC}=180^\circ-\widehat{BEA}=180^\circ-\widehat{90^\circ-\phi}=90^\circ+\phi, οπότε \widehat{BED}=\widehat{BEC} (2).

Από (1), (2) τα τρίγωνα \vartriangle BED, \vartriangle BEC είναι ίσα, οπότε \widehat{BDE}=\widehat{ACB} (3).

Όμως, από το εγγράψιμο ABED , \widehat{BAC}=\widehat{BDE} (4).

Από (3), (4) , \widehat{BAC}=\widehat{BCA} \Rightarrow BA=BC.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης