Τρίγωνο 27.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο 27.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 30, 2017 12:36 pm

333.png
333.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma και τα μέσα M, N των A\Gamma , B\Gamma αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των A\Gamma και B\Gamma οι οποίες τέμνουν τις B\Gamma και A\Gamma
στα σημεία \Delta και E αντιστοίχως. Αν O\equiv M\Delta \cap NE, να αποδείξετε ότι
τα σημεία E, A, O, \Delta και B είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο 27.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 30, 2017 12:48 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
333.png

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma και τα μέσα M, N των A\Gamma , B\Gamma αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των A\Gamma και B\Gamma οι οποίες τέμνουν τις B\Gamma και A\Gamma
στα σημεία \Delta και E αντιστοίχως. Αν O\equiv M\Delta \cap NE, να αποδείξετε ότι
τα σημεία E, A, O, \Delta και B είναι ομοκυκλικά.
Γεια σου Φάνη!

Το O είναι προφανώς το περίκεντρο του ABC, άρα, (εύκολο) \widehat{ABO}=90^0-\widehat{C} (1).

Είναι EN \perp NC, οπότε \widehat{OEA}=90^0-\widehat{C}.

Από (1), (2), \widehat{OEA}=\widehat{ABO}, άρα E,B,O,A ομοκυκλικά (*).

Ακόμη, \widehat{ADO}=\widehat{MDC}=90^0-\widehat{C}=\widehat{OEA}, άρα \widehat{ADO}=\widehat{OEA}, οπότε A,E,D,O ομοκυκλικά (**).

Οι (*), (**) δίνουν το ζητούμενο.
Συγγνώμη που τα έγραψα λίγο βιαστικά, αλλά πρέπει να φύγω ...


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τρίγωνο 27.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 30, 2017 12:50 pm

Πού πηγαίνεις Ορέστη;
Καλά δεν περνάμε εδώ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο 27.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 30, 2017 1:24 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:333.png


Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma και τα μέσα M, N των A\Gamma , B\Gamma αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των A\Gamma και B\Gamma οι οποίες τέμνουν τις B\Gamma και A\Gamma
στα σημεία \Delta και E αντιστοίχως. Αν O\equiv M\Delta \cap NE, να αποδείξετε ότι
τα σημεία E, A, O, \Delta και B είναι ομοκυκλικά.
Το \displaystyle{O} ανήκει στις δυο μεσοκάθετες ,συνεπώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι μπλε

Άρα \displaystyle{ACOE,ACDO} είναι εγγράψιμα στον κύκλο \displaystyle{\left( {A,C,O} \right)}
T27.png
T27.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο 27.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 30, 2017 5:42 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:333.png


Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma και τα μέσα M, N των A\Gamma , B\Gamma αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των A\Gamma και B\Gamma οι οποίες τέμνουν τις B\Gamma και A\Gamma
στα σημεία \Delta και E αντιστοίχως. Αν O\equiv M\Delta \cap NE, να αποδείξετε ότι
τα σημεία E, A, O, \Delta και B είναι ομοκυκλικά.
Καλησπέρα!
Τρίγωνο 27.png
Τρίγωνο 27.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές
Από DA=DC, EB=EC και το εγγράψιμο MONC προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Άρα τα τετράπλευρα EBDA, BDOE είναι εγγράψιμα, οπότε τα σημεία E, A, O, D, B είναι ομοκυκλικά


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 27.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 30, 2017 7:12 pm

Τρίγωνο 27_Φάνης.png
Τρίγωνο 27_Φάνης.png (25.91 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές
Το O είναι το περίκεντρο του \vartriangle ABC και άρα :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat B \hfill \\ 
  \widehat \omega  = \widehat A \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat B \hfill \\ 
  \widehat \phi  = \widehat {{a_1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Άρα τα A,O,D,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A,O,B,E ομοκυκλικά .

Αλλά από τρία διακεκριμένα σημεία ( εν προκειμένω , τα A,O,B) διέρχεται ένας και

μόνο κύκλος, συνεπώς τα A,O,D,B,E είναι ομοκυκλικά .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες