Τρίγωνο 27.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 333.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και τα μέσα M, N

των $A\Gamma , B\Gamma$ αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των $A\Gamma$ και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνουν τις $B\Gamma$ και $A\Gamma$
στα σημεία $\Delta$ και

αντιστοίχως. Αν $O\equiv M\Delta \cap NE$ , να αποδείξετε ότι
τα σημεία $E, A, O, \Delta$ και

είναι ομοκυκλικά.

Ορέστης Λιγνός · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
333.png

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και τα μέσα των $A\Gamma , B\Gamma$ αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των $A\Gamma$ και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνουν τις $B\Gamma$ και $A\Gamma$
στα σημεία $\Delta$ και αντιστοίχως. Αν $O\equiv M\Delta \cap NE$ , να αποδείξετε ότι
τα σημεία $E, A, O, \Delta$ και είναι ομοκυκλικά.

Γεια σου Φάνη!

Το

είναι προφανώς το περίκεντρο του ABC

, άρα, (εύκολο) $\widehat{ABO}=90^0-\widehat{C}$ (1).

Είναι $EN \perp NC$ , οπότε $\widehat{OEA}=90^0-\widehat{C}$ .

Από (1), (2), $\widehat{OEA}=\widehat{ABO}$ , άρα E,B,O,A

ομοκυκλικά (*).

Ακόμη, $\widehat{ADO}=\widehat{MDC}=90^0-\widehat{C}=\widehat{OEA}$ , άρα $\widehat{ADO}=\widehat{OEA}$ , οπότε A,E,D,O

ομοκυκλικά (**).

Οι (*), (**) δίνουν το ζητούμενο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φανης Θεοφανιδης · #3

Πού πηγαίνεις Ορέστη;
Καλά δεν περνάμε εδώ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:333.png

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και τα μέσα των $A\Gamma , B\Gamma$ αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των $A\Gamma$ και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνουν τις $B\Gamma$ και $A\Gamma$
στα σημεία $\Delta$ και αντιστοίχως. Αν $O\equiv M\Delta \cap NE$ , να αποδείξετε ότι
τα σημεία $E, A, O, \Delta$ και είναι ομοκυκλικά.

Το $\displaystyle{O}$ ανήκει στις δυο μεσοκάθετες ,συνεπώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι μπλε

Άρα $\displaystyle{ACOE,ACDO}$ είναι εγγράψιμα στον κύκλο $\displaystyle{\left( {A,C,O} \right)}$

: T27.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:333.png

Καλησπέρα.

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και τα μέσα των $A\Gamma , B\Gamma$ αντίστοιχα.
Φέρνω τις μεσοκάθετες των $A\Gamma$ και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνουν τις $B\Gamma$ και $A\Gamma$
στα σημεία $\Delta$ και αντιστοίχως. Αν $O\equiv M\Delta \cap NE$ , να αποδείξετε ότι
τα σημεία $E, A, O, \Delta$ και είναι ομοκυκλικά.

Καλησπέρα!

: Τρίγωνο 27.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Από

και το εγγράψιμο MONC

προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Άρα τα τετράπλευρα EBDA, BDOE

είναι εγγράψιμα, οπότε τα σημεία E, A, O, D, B

είναι ομοκυκλικά

#6

: Τρίγωνο 27_Φάνης.png (25.91 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ και άρα :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat B \hfill \\ \widehat \omega = \widehat A \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat B \hfill \\ \widehat \phi = \widehat {{a_1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Άρα τα $A,O,D,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A,O,B,E$ ομοκυκλικά .

Αλλά από τρία διακεκριμένα σημεία ( εν προκειμένω , τα A,O,B

) διέρχεται ένας και

μόνο κύκλος, συνεπώς τα A,O,D,B,E

είναι ομοκυκλικά .

Τρίγωνο 27.

Τρίγωνο 27.

Re: Τρίγωνο 27.

Re: Τρίγωνο 27.

Re: Τρίγωνο 27.

Re: Τρίγωνο 27.

Re: Τρίγωνο 27.

Μέλη σε σύνδεση