Κύκλος σε ισόπλευρο 2

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11372
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 26, 2017 12:39 pm

Κύκλος σε ισόπλευρο  2.png
Κύκλος σε ισόπλευρο 2.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Με κέντρο σημείο S της βάσης BC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , γράφω τον κύκλο

(S,SA) , ο οποίος τέμνει την προέκταση της AC στο P . Δείξτε ότι : BS=CP



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Απρ 26, 2017 1:12 pm

[Καλησπέρα Θανάση.

Κατασκευάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο SCQ με CS=CQ και Q σημείο του AC.

Είναι, \widehat{SCQ}=60^0, άρα SQ=QC=SC (1).

Προφανώς, SA=SP (ακτίνες), και \widehat{SAQ}=\widehat{SAP}=\widehat{SPA}+\widehat{SPQ}.

Τα τρίγωνα SAQ,SPC έχουν SA=SP,  \, SQ=SC, \widehat{SAQ}+\widehat{SPC}, άρα από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων έχουμε ότι AQ=CP (2).

Έτσι, BS+SC=BC=AC=AQ+QC=CP+CS, συνεπώς BS=CP.
kyklos-se-isopleyro.png
kyklos-se-isopleyro.png (21.95 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 26, 2017 1:29 pm

KARKAR έγραψε:Κύκλος σε ισόπλευρο 2.pngΜε κέντρο σημείο S της βάσης BC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , γράφω τον κύκλο

(S,SA) , ο οποίος τέμνει την προέκταση της AC στο P . Δείξτε ότι : BS=CP
Κύκλος σε ισόπλευρο.2.png
Κύκλος σε ισόπλευρο.2.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
\displaystyle{\theta  + \varphi  = {60^0} = \omega  + \varphi  \Leftrightarrow \omega  = \theta }, SA=SP=R, \widehat B+S\widehat CP=60^0+120^0=180^0, άρα \boxed{BS=CP}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 26, 2017 1:37 pm

Επειδή ξέρω ότι είμαι λίγο "αργός" εν γένει είπα να βρω μια απρόβλεπτη αλλά προφανώς δεν είναι η ενδεδειγμένη.

Κύκλος και ισόπλευρο 2 Karkar.png
Κύκλος και ισόπλευρο 2 Karkar.png (40.93 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

Ο κύκλος (C,CA) τέμνει τον κύκλο (S,SA) ακόμα στο Q . Το τετράπλευρο ABQC

είναι ρόμβος με γωνίες 60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,120^\circ , \widehat {ASP} = 2\widehat {BAQ} = 60^\circ, άρα το \vartriangle SQP είναι

ισόπλευρο οπότε \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}}. Τώρα θα είναι \vartriangle BAS = \vartriangle BQS = \vartriangle CQP ( \Gamma  - \Pi  - \Gamma) και άρα

\boxed{BS = CP}.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Απρ 26, 2017 2:10 pm

Μία άλλη ιδέα:

Φέρνουμε SK \parallel AC.

Προφανώς, το BSK είναι ισόπλευρο και SK=BS=BK.

Άμεσα, το SCAK είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα CK=AS=SP και \widehat{SPC}=\widehat{SAC}=\widehat{KCA}.

Από τα παραπάνω, KC \parallel = SP, άρα KCPS παραλληλόγραμμο, οπότε CP=KS=BS ό.έ.δ.
kyklos-se-isopleyro.png
kyklos-se-isopleyro.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Απρ 26, 2017 2:54 pm

kyklos-se-isopleyro.png
kyklos-se-isopleyro.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο CPT.

Είναι SA=SP (1).

Επίσης \widehat{SKP}=\widehat{ABS}=60^0 (2).

Ακόμη, \widehat{SPK}=60^0+\phi=\widehat{BSA}, οπότε \widehat{SPK}=\widehat{BSA} (3).

Από (1), (2), (3), τα \triangle BAS= \triangle SPT, άρα SC+CP=SC+CK=SK=BA=BC=BS+SC, οπότε BS=CP.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες