Τετράπλευρο 7.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 7.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Απρ 24, 2017 9:17 pm

222.png
222.png (6.31 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Στο παραπάνω τετράπλευρο AB\Gamma \Delta ισχύει ότι: AB=B\Gamma .
Αποδείξτε ότι \theta =40^{0}.

Αξίζει το κόπο να ασχοληθεί κανείς μαζί της.
Είναι πολύ καλή άσκηση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 7.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 24, 2017 9:56 pm

Όμορφο! :clap2:

Φέρνουμε BE \perp AD, και έστω M το μέσο της BC.

Είναι \widehat{BAE}=30^0, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB, 2BM=BC=AB=2BE, οπότε BM=BE (1).

Ακόμη, \widehat{EBD}=90-\widhat{EDB}=50^0, και με angle chasing, \widehat{DBC}=\widehat{DBM}=50^0=\widehat{EBD}.
Έτσι, \widehat{EBD}=\widehat{DBM} (2).

Από (1), (2) και το γεγονός ότι τα τρίγωνα EBD, MBD έχουν την BD κοινή, είναι ίσα.

Άρα, \widehat{BED}=\widehat{BMD}=90^0.

Άρα, στο τρίγωνο BDC, η DM είναι διάμεσος και ύψος, οπότε \widehat{BCD}=\widehat{DBC}=50^0.

Εύκολα, \widehat{BCA}=10^0 (γωνίες), άρα \theta=\widehat{BCD}-\widehat{BCA}=40^0, οπότε \boxed{\theta=40^0}.
GONIA.png
GONIA.png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7839
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο 7.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 25, 2017 1:04 am

τετράπλευρο 7.png
τετράπλευρο 7.png (40.31 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Αν γράψω τον κύκλο (A,B,D) με O το κέντρο του θα είναι :

Το \vartriangle OBD, ισόπλευρο . \widehat {AOB} = 80^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OAD} = \widehat {ODA} = 20^\circ  = \widehat {DAC} και άρα το

τετράπλευρο OACD τραπέζιο . Από την προφανή ισότητα \vartriangle OAB = \vartriangle DCB προκύπτει

ότι το τραπέζιο OACD είναι και ισοσκελές οπότε \widehat \theta  = 40^\circ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράπλευρο 7.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 25, 2017 9:35 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:222.png

Στο παραπάνω τετράπλευρο AB\Gamma \Delta ισχύει ότι: AB=B\Gamma .
Αποδείξτε ότι \theta =40^{0}.

Αξίζει το κόπο να ασχοληθεί κανείς μαζί της.
Είναι πολύ καλή άσκηση.
Καλημέρα σε όλους!
Τετράπλευρο 7.png
Τετράπλευρο 7.png (24.83 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Κατασκευάζω το ισόπλευρο ABE όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε το BEC είναι ισοσκελές κι επειδή B\widehat CA=10^0

θα είναι A\widehat CE=30^0. Αλλά η BD είναι μεσοκάθετη της EC, καθώς επίσης και η AD μεσοκάθετη της BE, οπότε

DB=DE=DC και \displaystyle{\theta  = A\widehat CE + E\widehat CD = {30^0} + {10^0} \Leftrightarrow } \boxed{\theta=40^0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης