Δύο κύκλοι-27

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Δύο κύκλοι-27

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Απρ 06, 2017 8:33 pm

876.png
876.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με την γωνία του \angle \Gamma αμβλεία. Ο κύκλος με διάμετρο
την A\Gamma τέμνει την AB στο \Delta και την προέκταση της B\Gamma στο E.
Φέρνω την \Delta E και τον περίκυκλο του τριγώνου E\Delta B του οποίου το κέντρο είναι το O.
Δείξτε ότι BO\perp A\Gamma .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1660
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Δύο κύκλοι-27

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Απρ 06, 2017 8:41 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
876.png
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με την γωνία του \angle \Gamma αμβλεία. Ο κύκλος με διάμετρο
την A\Gamma τέμνει την AB στο \Delta και την προέκταση της B\Gamma στο E.
Φέρνω την \Delta E και τον περίκυκλο του τριγώνου E\Delta B του οποίου το κέντρο είναι το O.
Δείξτε ότι BO\perp A\Gamma .
Έστω ότι η BO τέμνει τον κύκλο (O,OB) στο K.

Τότε , \widehat{BEK}=90^0 (βαίνει σε ημικύκλιο).

Όμως, \widehat{AEB} \equiv \widehat{AEC}=90^0 (βαίνει σε ημικύκλιο).

Έτσι, \widehat{AEK}=\widehat{AEB}+\widehat{BEK}=180^0, άρα A,E,K συνευθειακά.

Όμοια, D,C,K συνευθειακά.

Άρα, στο τρίγωνο AKB, τα KD, BE είναι ύψη και συνεπώς το σημείο τομής C είναι το ορθόκεντρο, επομένως AC \perp BK.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8108
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύο κύκλοι-27

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 06, 2017 9:40 pm

Πάλι με πρόλαβε ο Ορέστης.
δύο κύκλοι_27 Φάνης.png
δύο κύκλοι_27 Φάνης.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές
Ας είναι S ο νότιος πόλος του κύκλου (B,D,E) . Επειδή οι γωνίες \widehat {AEC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {SEC}

βαίνουν σε υμικύκλιο είναι ορθές και άρα τα σημεία , A,E,S ανήκουν στην ίδια

ευθεία. Αλλά και \widehat {SDB} = 90^\circ ( πάλι κι εδώ βαίνει σε ημικύκλιο.)

Τώρα στο \vartriangle ABS το C είναι ορθόκεντρο οπότε , AC \bot BS.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Δύο κύκλοι-27

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Απρ 06, 2017 11:41 pm

Εκτός φακέλου: Η στροφή και ομοιοθεσία περί το Ε που στέλνει τον μικρό κύκλο στον άλλο κύκλο, στέλνει το Α στο Β, οπότε είναι στροφή ενενήντα μοιρών. Ακόμα η διάμετρος ΑΓ πηγαίνει στην διάμετρο που ορίζει το Β, επομένως η ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΟ.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3338
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Δύο κύκλοι-27

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Απρ 07, 2017 6:54 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με την γωνία του \angle \Gamma αμβλεία. Ο κύκλος με διάμετρο
την A\Gamma τέμνει την AB στο \Delta και την προέκταση της B\Gamma στο E.
Φέρνω την \Delta E και τον περίκυκλο του τριγώνου E\Delta B του οποίου το κέντρο είναι το O.
Δείξτε ότι BO\perp A\Gamma .
Καλημέρα!
Δύο-κύκλοι-27.png
Δύο-κύκλοι-27.png (27.77 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές
Είναι 2\Delta \widehat {\rm A}\Gamma  = 2\Delta \widehat {\rm E}\Gamma  = \Delta \widehat {\rm O}{\rm B} = 2\omega και απ’ τη γωνία {\rm B}, του ισοσκελούς \triangleleft {\rm O}\Delta {\rm B}, το ζητούμενο έπεται άμεσα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης