Σελίδα 1 από 1

Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 7:24 pm
από Φανης Θεοφανιδης
Θεώρημα Neuberg.png
Θεώρημα Neuberg.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 7:38 pm
από george visvikis
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Καλησπέρα!
Neuberg.png
Neuberg.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές
Κατασκευάζω τα τετράγωνα ABEZ, ACHF. Από το θεώρημα του Vecten οι BF, CZ είναι ίσες και κάθετες και το ζητούμενο έπεται.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 7:48 pm
από Φανης Θεοφανιδης
Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ; :lol:

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 8:06 pm
από george visvikis
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ; :lol:
Ποτέ! :lol:

Όσο για την άσκηση την θυμάμαι από τότε που την κάναμε στο φροντιστήριο. Είχε μπει στο Πολυτεχνείο το 1971 (ένα χρόνο πριν δώσω εισαγωγικές). Υπάρχει εδώ. Έχω και λύση με ισότητα τριγώνων. Θα τη δώσω αργότερα αν δεν απαντηθεί.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 8:20 pm
από STOPJOHN
Καλημέρα Φάνη και Γιώργο ,πριν γράψω τη λύση, μια απάντηση για τον Γιώργο .
Ο Γιώργος δεν κουράζεται ποτέ γιατί έχει την ψυχή του πρωταθλητή και του εύχομαι να συνεχίσει στον ίδιο ρυθμό,..................

Γιάννης

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 8:53 pm
από KARKAR
Χαλκέντερος  Βισβίκης.png
Χαλκέντερος Βισβίκης.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές
Δες τε την ισότητα των τριγώνων PLM , MNQ . Η ορθότητα της \widehat{PMQ} , θέλει λίγη σκέψη ...

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 8:56 pm
από STOPJOHN
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Ειναι PK=OM=KB,MK=OB=OQ,\hat{PKM}=\hat{MOB}=90+\hat{B}
Αρα τα τρίγωνα PKM,MOQ είναι ίσα και MQ=MP,\hat{PMQ}=\hat{KMO}+\hat{PMK}+\hat{OMQ}=90,180=B+90+\hat{KPM}+\hat{OQM}




Γιάννης

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 10:16 pm
από mikemoke
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
γεια σασ
ποια ειναι η εξισωση τησ διαδρομησ των P ,Q καθως το Β κινειται πανω σε μια τυχαια ευθεια?..Α,Β σταθερα

Re: Θεώρημα Neuberg.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2017 11:11 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Άλλη μια λύση

Με \displaystyle{S} συμμετρικό του \displaystyle{P} ως προς \displaystyle{M}\displaystyle{ \Rightarrow PBSC} παραλ/μμο\displaystyle{ \Rightarrow PB = CS} και \displaystyle{\theta  = \phi  = \angle {45^0} + B}

Έτσι η μη κυρτή γωνία \displaystyle{QCS = {45^0} + B + C + {45^0} = {90^0} + B + C} \displaystyle{ \Rightarrow } κυρτή \displaystyle{\angle QCS = {360^0} - {90^0} - B - C = {90^0} + A}=κυρτή\displaystyle{\angle PAQ}

Τότε όμως \displaystyle{\vartriangle PAQ = \vartriangle QCS \Rightarrow \boxed{PQ = QS}} και \displaystyle{\boxed{x = y}}.

Αλλά \displaystyle{x + \angle PQC = {90^0} \Rightarrow y + \angle PQC = \angle PQS = {90^0}} άρα \displaystyle{\vartriangle PQS} ορθογώνιο-ισοσκελές ,συνεπώς \displaystyle{QM \bot PS} και \displaystyle{\boxed{QM = MP}}
O-I.png
O-I.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές