Θεώρημα Neuberg.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Θεώρημα Neuberg.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιαν 08, 2017 7:24 pm

Θεώρημα Neuberg.png
Θεώρημα Neuberg.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10040
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θεώρημα Neuberg.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 08, 2017 7:38 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Καλησπέρα!
Neuberg.png
Neuberg.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές
Κατασκευάζω τα τετράγωνα ABEZ, ACHF. Από το θεώρημα του Vecten οι BF, CZ είναι ίσες και κάθετες και το ζητούμενο έπεται.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Θεώρημα Neuberg.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιαν 08, 2017 7:48 pm

Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ; :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10040
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θεώρημα Neuberg.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 08, 2017 8:06 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ; :lol:
Ποτέ! :lol:

Όσο για την άσκηση την θυμάμαι από τότε που την κάναμε στο φροντιστήριο. Είχε μπει στο Πολυτεχνείο το 1971 (ένα χρόνο πριν δώσω εισαγωγικές). Υπάρχει εδώ. Έχω και λύση με ισότητα τριγώνων. Θα τη δώσω αργότερα αν δεν απαντηθεί.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1988
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θεώρημα Neuberg.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 08, 2017 8:20 pm

Καλημέρα Φάνη και Γιώργο ,πριν γράψω τη λύση, μια απάντηση για τον Γιώργο .
Ο Γιώργος δεν κουράζεται ποτέ γιατί έχει την ψυχή του πρωταθλητή και του εύχομαι να συνεχίσει στον ίδιο ρυθμό,..................

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12173
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Θεώρημα Neuberg.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 08, 2017 8:53 pm

Χαλκέντερος  Βισβίκης.png
Χαλκέντερος Βισβίκης.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές
Δες τε την ισότητα των τριγώνων PLM , MNQ . Η ορθότητα της \widehat{PMQ} , θέλει λίγη σκέψη ...


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1988
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θεώρημα Neuberg.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 08, 2017 8:56 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Ειναι PK=OM=KB,MK=OB=OQ,\hat{PKM}=\hat{MOB}=90+\hat{B}
Αρα τα τρίγωνα PKM,MOQ είναι ίσα και MQ=MP,\hat{PMQ}=\hat{KMO}+\hat{PMK}+\hat{OMQ}=90,180=B+90+\hat{KPM}+\hat{OQM}




Γιάννης
Συνημμένα
Θεώρημα Neuberg.png
Θεώρημα Neuberg.png (78.09 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Θεώρημα Neuberg.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιαν 08, 2017 10:16 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
γεια σασ
ποια ειναι η εξισωση τησ διαδρομησ των P ,Q καθως το Β κινειται πανω σε μια τυχαια ευθεια?..Α,Β σταθερα


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1951
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Θεώρημα Neuberg.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 08, 2017 11:11 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο ABC και το μέσο M της AC. Στις πλευρές του AB, BC
και έξω από το \triangle ABC, κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Άλλη μια λύση

Με \displaystyle{S} συμμετρικό του \displaystyle{P} ως προς \displaystyle{M}\displaystyle{ \Rightarrow PBSC} παραλ/μμο\displaystyle{ \Rightarrow PB = CS} και \displaystyle{\theta  = \phi  = \angle {45^0} + B}

Έτσι η μη κυρτή γωνία \displaystyle{QCS = {45^0} + B + C + {45^0} = {90^0} + B + C} \displaystyle{ \Rightarrow } κυρτή \displaystyle{\angle QCS = {360^0} - {90^0} - B - C = {90^0} + A}=κυρτή\displaystyle{\angle PAQ}

Τότε όμως \displaystyle{\vartriangle PAQ = \vartriangle QCS \Rightarrow \boxed{PQ = QS}} και \displaystyle{\boxed{x = y}}.

Αλλά \displaystyle{x + \angle PQC = {90^0} \Rightarrow y + \angle PQC = \angle PQS = {90^0}} άρα \displaystyle{\vartriangle PQS} ορθογώνιο-ισοσκελές ,συνεπώς \displaystyle{QM \bot PS} και \displaystyle{\boxed{QM = MP}}
O-I.png
O-I.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης