Κάθετη στη διάμεσο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κάθετη στη διάμεσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 26, 2016 1:22 pm

Κάθετη στη διάμεσο.png
Κάθετη στη διάμεσο.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC στην υποτείνουσά του BC θεωρούμε

σημείο D έτσι ώστε BD = 2DC. Δείξετε ότι η AD είναι κάθετη στη διάμεσο BM

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Δεκ 26, 2016 2:13 pm

Έστω AM=CM=x. Τότε AB=2x και AB^2-AM^2=3x^2 (1)

Ακόμα, BC=2\sqrt{2}x, άρα BD=\dfrac{4\sqrt{2}x}{3}\Leftrightarrow BD^2=\dfrac{32x^2}{9} (2) και DC=\dfrac{2\sqrt{2}x}{3} (3)

Χρησιμοποιώντας το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο DMC προκύπτει ότι: DM^2=DC^2+CM^2-2DM\cdot CM\cdot \cos{45^o}\Leftrightarrow DM^2=\dfrac{8x^2}{9}+x^2-\dfrac{4x^2\sqrt{2}}{3\sqrt {2}}\Leftrightarrow...\Leftrightarrow DM^2=\dfrac{5x^2}{9} (4)

Αφαιρώντας τις σχέσεις (2) και (4) κατά μέλη και προκύπτει ότι BD^2-DM^2=3x^2 (5)

Από τις σχέσεις (1) και (5) προκύπτει ότι AB^2-AM^2=BD^2-DM^2 και σύμφωνα με το κριτήριο καθετότητας ισχύει ότι AD\perp BM


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 26, 2016 2:33 pm

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC στην υποτείνουσά του BC θεωρούμε

σημείο D έτσι ώστε BD = 2DC. Δείξετε ότι η AD είναι κάθετη στη διάμεσο BM

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος
Χρόνια Πολλά σε όλους!
Κάθετη στη διάμεσο.png
Κάθετη στη διάμεσο.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές
Έστω N το μέσο της BC, οπότε G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και BG=2GM, BD=2DC, άρα

DG||AC δηλαδή \displaystyle{DG \bot AB}. Επομένως το G είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABD και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 26, 2016 2:57 pm

george visvikis έγραψε:
Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC στην υποτείνουσά του BC θεωρούμε

σημείο D έτσι ώστε BD = 2DC. Δείξετε ότι η AD είναι κάθετη στη διάμεσο BM

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος
Χρόνια Πολλά σε όλους!

Κάθετη στη διάμεσο.png
Έστω N το μέσο της BC, οπότε G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και BG=2GM, BD=2DC, άρα

DG||AC δηλαδή \displaystyle{DG \bot AB}. Επομένως το G είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABD και το ζητούμενο έπεται.

Ο νέος( Διονύσης) είναι ωραίος , αλλά κι ο παλιός ( Γιώργος) είναι αλλιώς . απο ένα :clap2:

Πάντως η άσκηση μπήκε στο φάκελο αυτό για τη λύση του Γιώργου.


Φιλικά, Νίκος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2097
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Δεκ 26, 2016 3:35 pm

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC στην υποτείνουσά του BC θεωρούμε

σημείο D έτσι ώστε BD = 2DC. Δείξετε ότι η AD είναι κάθετη στη διάμεσο BM

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος
Καλημέρα και Χρόνια Πολλά
Προεκτείνουμε την AC κατά ίσο τμήμα CL=AC
Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο BMCμε τέμνουσα AED,\dfrac{BE}{EM}=4,(1)
Είναι DC=\dfrac{a}{3},IC=\dfrac{MT}{2}=\dfrac{a}{4},MT=\dfrac{a}{2},DI=\dfrac{a}{3}-\dfrac{a}{4}=\dfrac{a}{12},IC=\dfrac{a}{4},BD.BI=\dfrac{a^{2}}{2},(2), BM^{2}=\dfrac{5a^{2}}{8}=BE+EM,(3), (1),(3)\Rightarrow BE=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5\sqrt{8}}, BE.MB=\dfrac{a^{2}}{2},(4), (2),(4)\Rightarrow BE.BM=BD.BI
Αρα το τετράπλευρο EMID
είναι εγράψιμο και συνεπώς \hat{E}=90^{0}



Γιάννης
Συνημμένα
Κάθετη στη διάμεσο.png
Κάθετη στη διάμεσο.png (55.39 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 26, 2016 4:11 pm

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC στην υποτείνουσά του BC θεωρούμε

σημείο D έτσι ώστε BD = 2DC. Δείξετε ότι η AD είναι κάθετη στη διάμεσο BM

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος

Έστω \displaystyle{E} η τομή της \displaystyle{AD} με την παράλληλη από το \displaystyle{C} στην \displaystyle{AB}

\displaystyle{\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{{BD}}{{DC}} = 2 \Rightarrow CE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{2} = AM}.Άρα \displaystyle{\vartriangle ABM = \vartriangle ACE \Rightarrow x = y \Rightarrow \boxed{AD \bot BM}}
KSD.png
KSD.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 26, 2016 8:01 pm

Βρείτε πληθώρα λύσεων εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης