Εμβαδό

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Εμβαδό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Οκτ 09, 2016 1:38 pm

Δίνεται ορθογώνιο ABC {(A=\hat{90}}) και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Αν ο κύκλος τέμνει την BC στο D, δείξτε ότι (ABC)=BD \cdot DC.
area.png
area.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 09, 2016 2:09 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο ABC {(A=\hat{90}}) και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Αν ο κύκλος τέμνει την BC στο D, δείξτε ότι (ABC)=BD \cdot DC.

area.png
Γεια σου Ορέστη!

\displaystyle{BD \cdot DC = (\tau  - b)(\tau  - c) = \frac{{a + c - b}}{2} \cdot \frac{{a + b - c}}{2} = \frac{{{a^2} - ({b^2} + {c^2}) + 2bc}}{4} = \frac{{bc}}{2} = (ABC)}


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Εμβαδό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Οκτ 09, 2016 3:04 pm

Μετά την σύντομη λύση του κύριου Γιώργου θα γράψω την δική μου (πιο άσχημη) λύση για λόγους πλουραλισμού.

Εστω r η ακτίνα του κύκλου. Ισχύει:

(CD+DB)^2=(CD+r)^2+(BD+r)^2 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow CD\cdot DB=CD\cdot r+DB\cdot r+r^{2}.

Επίσης:

E=\dfrac {\left( CD\cdot r\right) \left( BD\cdot r\right) } {2}\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow E=CD\cdot DB


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 09, 2016 3:19 pm

Εμβαδόν  ορθογωνίου.png
Εμβαδόν ορθογωνίου.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές
2E=(r+x)(r+y)=r^2+rx+ry+xy

Αλλά : E=r^2+rx+ry , άρα xy=E


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 09, 2016 4:13 pm

Άλλη μία.

Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, είναι \displaystyle{E = \tau (\tau  - a)} (άσκηση σχολικού βιβλίου).

\displaystyle{E = \tau (\tau  - a) = \sqrt {\tau (\tau  - a)(\tau  - b)(\tau  - c)}  \Leftrightarrow \tau (\tau  - a) = (\tau  - b)(\tau  - c) \Leftrightarrow }\boxed{E = DB \cdot DC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης