Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Οκτ 11, 2014 9:07 pm

Έστω τρίγωνο ABC  (AB < BC ). Στις πλευρές του AB και BC θεωρούμε σημεία C_1 , A_1 αντίστοιχα και έστω N
το μέσο του τόξου ABC. Να αποδείξετε ότι AC_1 = CA_1 αν και μόνο αν τα σημεία A_1, C_1, B, N είναι ομοκυκλικά.
isa_an_kai_mono_an_meso.PNG
isa_an_kai_mono_an_meso.PNG (14.74 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7832
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 12, 2014 12:11 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω τρίγωνο ABC  (AB < BC ). Στις πλευρές του AB και BC θεωρούμε σημεία C_1 , A_1 αντίστοιχα και έστω N
το μέσο του τόξου ABC. Να αποδείξετε ότι AC_1 = CA_1 αν και μόνο αν τα σημεία A_1, C_1, B, N είναι ομοκυκλικά.
Το συνημμένο isa_an_kai_mono_an_meso.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Καλησπέρα .
Αν και μόνο άν.png
Αν και μόνο άν.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Μετά την αποτυχία της Εθνικής ας χαλαρώσουμε λίγο .

Αν A{C_1} = C{A_1} και αφού AN = CN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}, τα τρίγωνα AN{C_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN{A_1} είναι ίσα και άρα N{C_1} = N{A_1}.

Άμεση συνέπεια : A\widehat NC = {C_1}\widehat N{A_1} \Leftrightarrow \widehat B = {C_1}\widehat N{A_1} που μας εξασφαλίζει την ομοκυκλικότητα των B,{C_{1,}}{A_{1,}}N.

Στο αντίστροφο έχουμε N{C_1} = N{A_1} , NA = NC και τις περιεχόμενες σ αυτές τις πλευρές γωνίες ίσες και άρα \vartriangle AN{C_1}\,\, = \,\,\vartriangle CN{A_1} , οπότε A{C_1} = C{A_1}.

Το σημείο N είναι ειδική περίπτωση του σημείου Petersen.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 12, 2014 12:16 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω τρίγωνο ABC  (AB < BC ). Στις πλευρές του AB και BC θεωρούμε σημεία C_1 , A_1 αντίστοιχα και έστω N
το μέσο του τόξου ABC. Να αποδείξετε ότι AC_1 = CA_1 αν και μόνο αν τα σημεία A_1, C_1, B, N είναι ομοκυκλικά.
Το συνημμένο isa_an_kai_mono_an_meso.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Καλό βράδυ.

Έστω AC_1=CA_! και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου A_1C_1B τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο σημείο N.
Είναι \omega=\phi(ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του κόκκινου κύκλου). Άρα \displaystyle{A\widehat {{C_1}}N = C\widehat {{A_1}}N}. Ομοίως \displaystyle{{C_1}\widehat AN = {A_1}\widehat CN}. Οπότε τα τρίγωνα C_1AN, A_1CN είναι ίσα, άρα NA=NC, δηλαδή το N είναι το μέσο του τόξου ABC.
Ίσα αν και μόνο αν....png
Ίσα αν και μόνο αν....png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές
Αν N είναι το μέσο του τόξου ABC και τα τα σημεία A_1, C_1, B, N είναι ομοκυκλικά, τότε από την ισότητα των ίδιων τριγώνων, αλλά για διαφορετικούς λόγους, προκύπτει ότι AC_1=CA_1.

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Νίκος. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος περισσότερο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης