mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 9:09 pm**

: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 998 φορές

Μέσα στο τετράγωνο ABCD

γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

και το τεταρτοκύκλιο κέντρου

και ακτίνας

.

Έστω

η απόσταση τυχαίου σημείου

του τεταρτοκυκλίου από την

.

Αν η

τμήσει το ημικύκλιο στο

, δείξετε ότι ME = MZ.

Δεκτή οποιαδήποτε λύση ..., αναμένονται πολλές.

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 9:42 pm**

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Μέσα στο τετράγωνο γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου και το τεταρτοκύκλιο κέντρου και ακτίνας .

Έστω η απόσταση τυχαίου σημείου του τεταρτοκυκλίου από την .

Αν η τμήσει το ημικύκλιο στο , δείξετε ότι

Δεκτή οποιαδήποτε λύση ..., αναμένονται πολλές.

Νίκος

Γεια σου Νίκο και πάλι.

Η

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Είναι

, οπότε το ύψος

του τριγώνου BMA

θα είναι και διχοτόμος $\widehat B_1=\widehat B_2$

Αλλά, $\widehat B_1=\widehat A_1$ (εγγεγραμμένη με γωνία χορδής εφαπτομένης) και $\widehat B_2=\widehat A_2$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο). Οπότε θα είναι και $\widehat A_1=\widehat A_2$ .

Άρα $\boxed{ME=MZ}$ (Το

ως σημείο της διχοτόμου της γωνίας $E\widehat AZ$ ισαπέχει από τις πλευρές της.)

: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 10:05 pm**

Στο συνημμένο ,είναι προφανής η λύση:
(φέρνω

κάθετη στη

)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 10:16 pm**

Mία ακόμα πιο σύντομη:
$\displaystyle{\left. \begin{gathered} AB = MB \hfill \\ Z\hat AB = M\hat BK \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow BZ = MK \Rightarrow EM = MZ}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 10:23 pm**

Νομίζω ότι βρήκα έναν τρόπο απόλυτα κατάλληλο για την Α Λυκείου.
Προεκτείνουμε την

η οποία τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο

όπως στο σχήμα.
Η γωνία AZB

είναι ορθή και η

τέμνει κάθετα τη χορδή

. Άρα

.
Έχουμε ίσα ορθογώνια τρίγωνα τα AMZ

και

.
Το τρίγωνο AMK

είναι ισοσκελές με μέτρο βάσεων έστω

.
Η γωνία EAM = x

σύμφωνα με το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης
Άρα τα τρίγωνα EAM

,

είναι ίσα. ΄Αρα ME = MZ

.

Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 27, 2014 10:25 pm**

Τώρα είδα ότι είναι παραλλαγή της λύσης του Γιώργου.
Καθυστέρησα πολύ με το σχήμα. Και να πεις ότι είναι και της προκοπής;
Τέλος πάντων. Ας μην το σβήσω.
Ωπ, τώρα που το ξαναείδα, έχει μία διαφορετική λογική, το κρατάω.
Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 28, 2014 9:48 am**

Άλλη μια ….

Είναι ${\rm B}{\rm M} = {\rm B}{\rm A}$ ως ακτίνες του τεταρτοκυκλίου οπότε $\widehat {{\rm B}{\rm A}{\rm M}} = \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm B}} = \varphi \;\left( 1 \right)$ από το ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm M}$ .

Όμως $\widehat {{\rm B}{\rm A}{\rm M}} = \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm E}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \varphi \;\left( 2 \right)$ ως εντός και εναλλάξ των ${\rm M}{\rm E}//{\rm A}{\rm B}$ που τέμνονται από την ${\rm A}{\rm M}$ .

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm E}} = \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm B}}\;\left( 3 \right)$

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm A}{\rm M}{\rm E}$ και ${\rm A}{\rm M}{\rm Z}$ είναι ίσα αφού ${\rm A}{\rm M}$ κοινή πλευρά και $\widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm E}} = \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm B}}$ , οπότε ${\rm M}{\rm E} = {\rm M}{\rm Z}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 28, 2014 9:50 am**

Doloros έγραψε: Μέσα στο τετράγωνο γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου και το τεταρτοκύκλιο κέντρου και ακτίνας .

Έστω η απόσταση τυχαίου σημείου του τεταρτοκυκλίου από την .

Αν η τμήσει το ημικύκλιο στο , δείξετε ότι

Δεκτή οποιαδήποτε λύση ..., αναμένονται πολλές.

Νίκος

Καλημέρα σας.

: Τετράγωνο-ημικύκλιο-τεταρτοκύκλιο.png (22.42 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Από το

φέρουμε την εφαπτομένη στο τεταρτοκύκλιο, που τέμνει την

στο

. Ισχύει $K\widehat AM\mathop = \limits^{KA = KM} \,K\widehat MA\mathop = \limits^{KM\parallel AZ} M\widehat AZ = \omega$ . Από $\triangleleft AME\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangleleft AMZ \Rightarrow ME = MZ$ .

mathematica.gr

Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο ημικύκλιο τεταρτοκύκλιο