Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1329
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιούλ 19, 2014 3:37 pm

Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC
αν και μόνο αν AD+CE = AC.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιούλ 19, 2014 5:36 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC αν και μόνο αν AD+CE = AC.
Αν Z \in AC:\left( {AZ} \right) = \left( {AD} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AC} \right) = \left( {AD} \right) + \left( {CE} \right)} \left( {CZ} \right) = \left( {CE} \right) \Rightarrow I το περίκεντρο του τριγώνου

\vartriangle DEZ \Rightarrow \angle DIE = 2\left( {DZE} \right) = 2\left( {\dfrac{{\angle A}}{2} + \dfrac{{\angle C}}{2}} \right) = {180^0} - \angle B \Rightarrow B,E,I,D ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 19, 2014 5:59 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC
αν και μόνο αν AD+CE = AC.
Καλησπέρα.

● Έστω ότι το έγκεντρο I του τριγώνου ABC είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDE. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID και το γεγονός ότι η BI διχοτομεί τη γωνία \widehat B, προκύπτει ότι \boxed{ID=IE}.

Πάνω στην AC παίρνω τμήμα AF=AD, οπότε η AI ως διχοτόμος είναι μεσοκάθετος του DF.Άρα θα είναι και ID=IF. Δηλαδή, IE=ID=IF. που σημαίνει ότι το σημείο I είναι το περίκεντρο του τριγώνου DFE.
Επομένως η IC είναι μεσοκάθετος της EF, άρα CE=CF.

Οπότε: \boxed{AC=AF+FC=AD+CE}

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.png
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
● Έστω τώρα ότι AD+CE = AC και ότι η διχοτόμος της γωνίας \widehat C τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BDE στο σημείο I. Θα δείξω ότι το I είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.2.png
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.2.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
Είναι AD=AF, CE=CF και η CI μεσοκάθετος της CF.

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID και από το ισοσκελές τρίγωνο CEF έχουμε ότι: \displaystyle{B\widehat DI = I\widehat EC = I\widehat FC} κι επειδή \displaystyle{D\widehat FA = F\widehat DA \Leftrightarrow I\widehat DF = I\widehat FD}

Άρα ID=IF, δηλαδή η AI είναι μεσοκάθετος της DF οπότε διχοτομεί τη \widehat A και το I είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ηλιας Φραγκάκος
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Παρ Σεπ 13, 2013 11:40 pm
Τοποθεσία: Χανιά Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ηλιας Φραγκάκος

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλιας Φραγκάκος » Δευ Αύγ 04, 2014 6:36 pm

ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΦΡΑΓΚΑΚΟΥ
Παίρνει ένα τυχαίο σημείο T επί της AC. Με το διαβήτη ορίζει τα D και E στις AB και AC , αντίστοιχα. Άρα πετυχαίνει την προϋπόθεση AD+EC=AC. Οι μεσοκάθετες των τμημάτων DT και ET τέμνονται στο I. Oι γωνίες ITC και IEC είναι ίσες. Έστω, π. Οι παραπληρωματικές τους, δεν μπορεί παρά να είναι ίσες κι αυτές. Έστω ρ, ώστε π και ρ να μας κάνει 180 μοίρες. Έτσι, επειδή γ. ADI είναι ίση με γ. ATI, πρέπει και η γ. ADI να είναι ίση με ρ. Άρα, και η παραπληρωματική της είναι π. Άρα το 4πλευρο DIEB είναι εγγράψιμο. Αν κάποιος βρει λάθος στη λύση, να το πει.
Συνημμένα
04082014.png
04082014.png (253.85 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές


" Ή ταν, ή τα παρατάν " Είπε ο Λεωνίδας με τα λίγα Περσικά του και ίδρυσε το σύλλογο προς διάδοση της Ελληνοτουρκικής Φιλίας με το διακριτικό τίτλο "Νικηταράς ο Τουρκοφάγος"
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης