Άθροισμα τμημάτων

gavrilos · #1

Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

: Γεωμετρια mathematica_74.PNG (9.02 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Al.Koutsouridis · #2

gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Γεωμετρια mathematica_74.PNG
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το

είναι σημείο του

και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο

ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.

#3

gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω E_1, N, D_1

οι προβολές των σημείων E,M,D

αντίστοιχα, πάνω στη

,

οι προβολές αντίστοιχα των σημείων M,E

στην

και

οι προβολές των σημείων M,D

αντίστοιχα πάνω στην

.

Είναι $\displaystyle{MK = \frac{{E{E_2}}}{2},ML = \frac{{D{D_2}}}{2} \Rightarrow }$ $\boxed{MK + ML = \frac{{E{E_2} + D{D_2}}}{2}}$ (1)

$\displaystyle{MN = \frac{{E{E_1} + D{D_1}}}{2}}$ (διάμεσος τραπεζίου)

Αλλά, $\displaystyle{E{E_1} = E{E_2},D{D_1} = D{D_2}}$ (απόσταση σημείου της διχοτόμου από τις πλευρές γωνίας).

Από αυτές τις σχέσεις και από την (1)

προκύπτει ότι $\boxed{MN=MK+ML}$

: Άθροισμα τμημάτων.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Αυτά για την περίπτωση που το

είναι μέσο της

.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε:
gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.
Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το είναι σημείο του και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.

Αν το

είναι τυχαίο σημείο της

.
Χρησιμοποιώ τα δεδομένα της παραπάνω δημοσίευσης στο σχήμα.

● Έστω $\displaystyle{\frac{{MK}}{{E{E_2}}} = \frac{{MD}}{{DE}} = \lambda \Leftrightarrow MK = \lambda E{E_2}}$

Οπότε θα είναι $\displaystyle{\frac{{ML}}{{D{D_2}}} = \frac{{ME}}{{DE}} = 1 - \lambda \Leftrightarrow ML = \lambda D{D_2}}$

Άρα $MK+ML=\lambda EE_2+(1-\lambda)DD_2$ $=\lambda EE_1+(1-\lambda)DD_1$

● Φέρνω την DE_1

που τέμνει την

στο σημείο

.

$\displaystyle{\frac{{MF}}{{E{E_1}}} = \frac{{DM}}{{DE}} = \lambda \Leftrightarrow MF = \lambda E{E_1}}$ και ομοίως έχουμε $\displaystyle{FN = (1 - \lambda )D{D_1}}$
Οπότε $\displaystyle{MN = MF + FN = \lambda E{E_1} + (1 - \lambda )D{D_1}}$

Άρα: $\boxed{MN=MK+ML}$

: Άθροισμα τμημάτων.2.png (14.2 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Al.Koutsouridis · #5

Al.Koutsouridis έγραψε:
gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.
Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το είναι σημείο του και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.

: athroisma_tmhmatwn.PNG (17.15 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Καλησπέρα,

Έστω

τυχαίο σημείο της

και

οι προβολές του

στις πλευρές AB, AC, BC

αντίστοιχα. Φέρνουμε την παράλληλη από το

ως προς την

που τέμνει την
διχοτόμο

και την πλευρά

στα σημεία B{'} , A{'}

αντίστοιχα. Επίσης φέρνουμε την παράλληλη από το B{'}

προς την

που τέμνει τις MZ, AC

στα

αντίστοιχα.

Το σημείο B{'}

ως σημείο της διχοτόμου

ισαπέχει από τις πλευρές AB,BC

, οπότε

. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι MZ{'} = MK

. Πράγματι απο τις παραπάνω παραλληλίες έχουμε
$\frac {MD}{ME} = \frac {DB{'}}{B{'}B} = \frac{DC{'}}{C{'}C}$ άρα MC{'} || EC

και αφού

είναι διχοτόμος της $\angle BCA$ η MC{'}

θα είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle B{'}C{'}A{'}$ και το

ισαπέχει από τις B{'}C{'}, A{'}C{'}

, επομένως MZ = MZ{'} + Z{'}Z = MK + ML

.

Αντίστροφα:

Έστω

εσωτερικό σημείο του τριγώνου ABC

τέτοιο ώστε MZ = MK + ML

. Φέρνουμε τις παράλληλες από το

προς την

και από σημείο Z{'}

, τέτοιo ώστε ZZ{'} = ML

, παράλληλη προς την

οι οποίες τέμνoνται στο B{'}

(

το σημείο τομής της με την

) . Από την επιλογή του Z{'}

έχουμε

οπότε το

είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας $\angle B{'}C{'}A{'}$ . Έστω επίσης

η διχοτόμος της γωνίας

,

το σημείο τομής της

με την

και

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα, P{'},Q{'}

οι προβολές στις A{'}B{'} , B{'}C{'}

. Ομοια με το ευθή ερώτημα, είναι MC{'} || CE

και $\frac {P{'}D}{P{'}P} = \frac {MD}{ME} = \frac {DB{'}}{B{'}B} = \frac{DC{'}}{C{'}C} = \frac{DQ{'}}{Q{'}Q}$ . Όμως Q{'}Q = P{'}P

άρα

και επακόλουθα DP = DQ

. Επομένως το

είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας

και το

είναι σημείο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται απο τα ίχνοι των διχοτόμων των γωνιών
B, C

.

Άθροισμα τμημάτων

Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Re: Άθροισμα τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση